7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page1of81.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABABUI(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集ABU的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CABI(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素知识要点教学目标1．先包含——AB重叠部分ABI计算了2次，多加了1次；2．再排除——ABABI把多加了1次的重叠部分ABI减去．7-7-4容斥原理之数论问题7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page2of8个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABCUUIIIII．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例1】在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？AB【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331L可知，1~100中3的倍数有33个；由100520可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610L（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753(个)．【答案】53【巩固】在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】1003331L，100520，10035610L（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647(个)．【答案】47【巩固】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．例题精讲图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：ABC重叠部分ABI、BCI、CAI重叠了2次，多加了1次．2．再排除：ABCABBCACIII重叠部分ABCII重叠了3次，但是在进行ABCABBCACIII计算时都被减掉了．3．再包含：ABCABBCACABCIIIII．7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page3of8前100个自然数中能被2整除的数有：100250(个)．由1003331L知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164L（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数．因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667(个)．【答案】67【例2】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】1～1000之间，5的倍数有10005=200个，7的倍数有10007=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】求在1至100的...
