同济大学版高等数学课后习题答案第2章VIP免费

习题211设物体绕定轴旋转在时间间隔[0t]内转过的角度为从而转角是t的函数(t)如果旋转是匀速的那么称t为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速的应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？解在时间间隔[t0t0t]内的平均角速度为ttttt)()(00故t0时刻的角速度为)()()(limlimlim000000ttttttttt2当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度T与时间t的函数关系为TT(t)应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解物体在时间间隔[t0t0t]内温度的改变量为TT(tt)T(t)平均冷却速度为ttTttTtT)()(故物体在时刻t的冷却速度为)()()(limlim00tTttTttTtTtt3设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元此函数f(x)称为成本函数成本函数f(x)的导数f(x)在经济学中称为边际成本试说明边际成本f(x)的实际意义解f(xx)f(x)表示当产量由x改变到xx时成本的改变量xxfxxf)()(表示当产量由x改变到xx时单位产量的成本xxfxxfxfx)()(lim)(0表示当产量为x时单位产量的成本4设f(x)10x2试按定义求f(1)解xxxfxffxx2200)1(10)1(10lim)1()1(lim)1(20)2(lim102lim10020xxxxxx5证明(cosx)sinx解xxxxxxcos)cos(lim)(cos0xxxxx2sin)2sin(2lim0xxxxxxsin]22sin)2sin([lim06下列各题中均假定f(x0)存在按照导数定义观察下列极限指出A表示什么(1)Axxfxxfx)()(lim000解xxfxxfAx)()(lim000)()()(lim0000xfxxfxxfx(2)Axxfx)(lim0其中f(0)0且f(0)存在解)0()0()0(lim)(lim00fxfxfxxfAxx(3)Ahhxfhxfh)()(lim000解hhxfhxfAh)()(lim000hxfhxfxfhxfh)]()([)]()([lim00000hxfhxfhxfhxfhh)()(lim)()(lim000000f(x0)[f(x0)]2f(x0)7求下列函数的导数(1)yx4(2)32xy(3)yx16(4)xy1(5)21xy(6)53xxy(7)5322xxxy解(1)y(x4)4x414x3(2)3113232323232)()(xxxxy(3)y(x16)16x16116x06(4)23121212121)()1(xxxxy(5)3222)()1(xxxy(6)511151651653516516)()(xxxxxy(7)651616153226161)()(xxxxxxy8已知物体的运动规律为st3(m)求这物体在t2秒(s)时的速度解v(s)3t2v|t212(米/秒)9如果f(x)为偶函数且f(0)存在证明f(0)0证明当f(x)为偶函数时f(x)f(x)所以)0(0)0()(lim0)0()(lim0)0()(lim)0(000fxfxfxfxfxfxffxxx从而有2f(0)0即f(0)010求曲线ysinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率32xx解因为ycosx所以斜率分别为2132cos1k1cos2k11求曲线ycosx上点)21,3(处的切线方程和法线方程式解ysinx233sin3xy故在点)21,3(处切线方程为)3(2321xy法线方程为)3(3221xy12求曲线yex在点(01)处的切线方程解yexy|x01故在(01)处的切线方程为y11(x0)即yx113在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解y2x割线斜率为421913)1()3(yyk令2x4得x2因此抛物线yx2上点(24)处的切线平行于这条割线14讨论下列函数在x0处的连续性与可导性(1)y|sinx|(2)0001sin2xxxxy解(1)因为y(0)00)sin(lim|sin|limlim000xxyxxx0sinlim|sin|limlim000xxyxxx所以函数在x0处连续又因为1sinlim0|0sin||sin|lim0)0()(lim)0(000xxxxxyxyyxxx1sinlim0|0sin||sin|lim0)0()(lim)0(000xxxxxyxyyxxx而y(0)y(0)所以函数在x0处不可导解因为01sinlim)(lim200xxxyxx又y(0)0所以函数在x0处连续又因为01sinlim01sinlim0)0()(lim0200xxxxxxyxyxxx所以函数在点x0处可导且y(0)015设函数11)(2xbaxxxxf为了使函数f(x)在x1处连续且可导ab应取什么值？解因为1lim)(lim211xxfxxbabaxxfxx)(lim)(lim11f(1)ab所以要使函数在x1处连续必须ab1又因为当ab1时211lim)1(21xxfxaxxaxbaxaxbaxfxxx1)1(lim11)1(lim11lim)1(111所以要使函数在x1处可导必须a2此时b116已知00)(2xxxxxf求f(0)及f(0)又f(0)是否存在？解因为f(0)10lim)0()(lim00xxxfxfxxf(0)00lim)0()(lim200xxxfxfxx而f(0)f(0)所以f(0)不存在17已知f(x)00sinxxxx求f(x)解当x<0时f(x)sinxf(x)cosx当x>0时f(x)xf(x)1因为f(0)10sinlim)0()(lim00xxxfxfxxf(0)10lim)0()(lim00xxxfxfxx所以f(0)1从而f(x)010cosxxx18证明双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2解由xya2得xay222xayk设(x0y0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为)(02020xxxayy令y0并注意x0y0a2解得0022002xxaxyx为切线在x轴上的距令x0并注意x0y...