学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月2数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.SeveralseriesandFunctionofseriesandthejudgmentoftheirconvergenceAbstractInthispaper,theauthormainlydiscussestwoseries:SeveralseriesofpositiveseriesandFunctionofseries.Summarizingthepositiveseriesandfunctionofthepartoftheuniformconvergenceseriesdiscriminantmethod.Anditpresentstwospecialdiscriminantmethod:derivativediscriminantmethodandlogarithmicdiscriminantmethod.KeywordsSeveralseries;Positiveseries;Functionofseries;uniformconvergence;derivativediscriminantmethod;logarithmicdiscriminantmethod前言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。1正项级数及其收敛性一系列无穷多个数123,,,,,nuuuu写成和式123nuuuu就称为无穷级数，记为1nnu。如果0,1,2,3,nun，那么无穷级数1nnu,就称为正项级数。3若级数1nnu的部分和数列nS收敛于有限值S，即1limlim,nnknnkSuS则称级数1nnu收敛，记为1,nnuS并称此值S为级数的和数。若部分和数列nS发散，则称级数1nnu发散。当级数收敛时，又称1231nnknnnknrSSuuuu为级数的余和。1.1几种不同的判别法1.11正项级数收敛的充要条件部分和数列nS有界，即存在某正数M，有N都有nnuv，那么（1）若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散；即1nnu和1nnv同时收敛或同时发散；。比较判别法的极限形式：设1nnu和1nnv是两个正项级数。若limnnnuv=l，则（1）当0N,,nnnuquu若对一切成立不等式则级数收敛n+10i=1(2)n>N,1,nnnuuu若对一切成立不等式则级数发散比式判别法的极限形式：若1nnu为正项级数，则例3[3](1)(1)12(1)1n2111limlim222limlim20nnnnnnnnnnnunuu级数收敛不可使用比式判别法无法判断敛散性因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。定理1.14根式判别法根式判别法的极限形式：设是正项级数，且limnnnu=l，则（1）当l<1时，级数1nnu收敛；6（2）当l>1时，级数1nnu发散。定理1.15积分判别法设()fx为[1,)上非负递减函数，那么正项级数()fn与反常积分1()fxdx同时收敛或同时发散。定理1.16拉贝判别法设1nnu是正项级数，且存在自然数0N及常数r，拉贝判别法的极限形式：（1）当r时，级数1nnu收敛；（2）当时，级数1nnu发散。（3）当时，拉贝判别法无法判断定理1.17阿贝尔判别法若数列0na，0nb，且na为单调有界数列，级数1nnb收敛，则级数1nnnab收敛。例4]4]113135224246ppp分析：本题中的通项(21)!!(2)!!nnun含有阶层，但不能使用...
