文档鉴赏初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1.⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,求证:（1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;(2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 DF=CE∴△ACE≌△AFD文档鉴赏∴AD=AE在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA2.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=12BD,求证:BD平分∠ABC.证明:延长AE,BC交于点FAEDBCA90ADEBDCCBDCAFACFBCA90ACBCACFBCDAFBD11AEBDAEAF22ABEEBEBEABFBDABCQQQQ又又又平分即平分3.已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2,文档鉴赏求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180o－(180o－2)]÷2=.∴∠BDE=(180°－2)-=180o－3∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4.设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD ∠DBC=90o,∴CD是直径,则∠CAD=90oC文档鉴赏由题,可得AH⊥BC,BH⊥AC∴BD∥AH,AD∥BH∴四边形ADBH是□∴AH=BD又 AH等于外接圆的半径(R)∴BD=R,而CD=2R∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o∴∠BDC=60o又 ∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5.在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图 ∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB=GO, ∠5=∠4=∠6,∴CO=CE, FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,又 △FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,∴CO=AF, CO=CE,∴AF=CE.文档鉴赏6.在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F AD是∠A的平分线∴∠1=∠2 DE∥AB∴∠1=∠3 CE∥AD∴∠3=∠5,∠4=∠2∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD和△FCE是等腰三角形∴AF=DF,EF=CF∴AC=DE同理可证BC=DE∴AC=BC∴△ABC是等腰三角形文档鉴赏7.三条中线把△ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证:△ABC是正三角形．rrOFEDBCAHIGLKJ证明: △AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD面积都相等∴S△OFB=S△OEC即:21BF×r+21FO×r+21BO×r=21CE×r+21OE×r+21OC×r21(BF+FO+BO)×r=21(CE+OE+OC)×r∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ∴2DH+2BH=2FK+2CK∴2BF=2CE文档鉴赏又F、E分别为AB、AC之中点∴AB=AC同理:AB=BC故△ABC是正三角形.8.平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.ABDCEFIHGO证明:又 △AOB、△BOC、△COD、△DOA四个三角形的面积相等1122ODDCOCrOBBCOCrCDOCODBCOBOCODOCDCOEOGOBOCBCOIOG2222DFCFBHCH22DCBCDCBC∴四边形为菱形9.凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四文档鉴赏边形是菱形.证明:连结O1、O2,分别作O1、O2到AC的垂线,垂足分别为P、M 在△ABC中,BO是☉O1、☉O2的公切线∴BO⊥O1O2又 ☉O1、☉O2半径相同,且都与AC相切∴O1O2‖AC∴BO⊥ACBD⊥AC 两个相等的内切圆☉O1、☉O3在对顶三角形△AOB与△COD中∴周长C△AOB=C△COD∴AO+BO+AB=CO+DO+CD又 OP=OQ=OM=ON∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)∴2AB=2CD∴AB=CD同理AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形ABDCPNO1O2OO3O4MQ文档鉴赏又 AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形10.在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自C作CG⊥DE于G,证明:EF=DG.证明:设O,M分别是BC,FG的中点,所以OM∥BF,因为BF⊥FG,所以OM⊥FG,又因为∠BEC=∠BDC=90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上,因为OM⊥DE,所以OM平分ED,所以FM-EM=MG-MD即EF=DG.11.△ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K.MGOFEDCBA文档鉴赏求证:直线IM平分线段AK.IOMLKHGFEDCBA证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,（如图）连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切...
