湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《用函数观点看一元二次方程》教案新人教版二.重点、难点：1.重点：二次函数（）与一元二次方程（）之间的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。2.难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。三.具体内容：1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一根。2.二次函数（）图像与x轴的关系有3种：（1）没有公共点：此时一元二次方程没有实根，即；（2）有一个公共点：此时一元二次方程有两个相等的实根，即；（3）有二个公共点：此时一元二次方程有两个不相等的实根，即3.利用二次函数的图像求一元二次方程的根一般是近似的。【典型例题】[例1]已知函数，利用函数图像求出的根。（精确到0.1）解：做出的图像，如图，它与x轴的公共点的横坐标大约为，∴方程的实数根为[例2]在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分（如图所示）。如果这个男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米，）解：（1）设所求函数的解析式为∵A在抛物线上∴∴∴（2）抛物线与x轴正半轴的交点C即为铅球落地点此时y=0且x>0，即解得（米）（不合题意，舍去）∴该同学把铅球推出去约13.75米。[例3]已知抛物线（m为常数）（1）求证：此抛物线与x轴一定有交点；（2）是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两交点的距离等于？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：（1）∵∴∴抛物线与x轴一定有交点。（2）假设存在正数m，使已知抛物线与x轴两交点距离为设抛物线与x轴两交点的横坐标为解方程：得∴（∵）∴∴解得经检验都适合方程（*）但∴∴存在正数，使抛物线与x轴两个交点的距离等于[例4]已知，做出函数的草图，观察图像，当x为何值时，，当为何值时y=0，当x为何值时y<0。解：∴图像开口向上，对称轴是直线，顶点为令得与y轴点为（0，1）解方程得，∴图像与x轴交点为与∴草图如图由图可知：当或时，当或时，当时，[例5]已知实数，抛物线与在x轴上有相同的交点A。（1）求点A的坐标，（2）求p+q的值；（3）设m，n为正整数，并且关于x的一元二次方程有实数根p，q，求m，n的值。解：（1）设点A的坐标为（），由题意得由（1）－（2）得∴∵∴∴∴点A（）（2）（3）∵p，q是方程的根，且∴把代入∴由（1）得∴∵为正整数∴∴m值为8，n的值为1，2，3[例6]已知抛物线截直线所得的线段长为3，并且此抛物线顶点在抛物线上，求抛物线的解析式。解：抛物线的对称轴为直线，它截直线所得的线段长为3，则把它向下平移5个单位所得的抛物线截x轴的线段长也为3，所以与x轴两个交点分别为，故可设抛物线的解析式为：化顶点式为：∵原抛物线顶点在抛物线上∴的顶点在抛物线上∴∴∴的解析式为∴或由此得原抛物线解析式为或【模拟试题】一.填空题1.若二次函数的图像与x轴没有公共点，且c为整数，则c的最小值为。2.已知二次函数的部分图像（如图所示），顶点为，由图像可知关于x的一元二次方程的两个根为和。3.若关于x的方程没有实数根，当时，抛物线的顶点位置在x轴的；当时，抛物线的顶点位置在x轴的。4.已知m、n是方程的两个实数根，抛物线的图像过和两点，则b=，c。5.如图所示，A、B、C是二次函数的图像上的三个点，则0，c0，0（填“>”、“<”或“=”）。6.如图所示，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且OB=OC，则这个二次函数的解析式为，点A的坐标为。二.解答题7.已知函数（1）画出函数图像；（2）利用图像回答方程的解是多少？x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？8.已知抛物线。（1）求证：此抛物线与x轴必有两个公共点；（2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值。【试题答案】一.1.52.3.上方；下方4.6；5.<；>；>6.；二.7.（1）略（2）；或；8.（1）（2）与y轴交点为由题意知∴
