一元二次方程的根与系数的关系（一）伯劳中学苏方龙方程两个根x1，x2的值两根的和两根的积x1x2x1+x2x1.x23x2-4x-4=02x2+7x-4=06x2+7x-3=05x2-23x+12=0-2-2/34/3-4/3-2-2/34/3-4/31/21/2-4-4-7/2-7/2-2-2-3/21/3-7/6-1/2-3/21/3-7/6-1/2请同学们观察下表43/523/512/543/523/512/5请同学们猜想：请同学们猜想：任意的一元二次方程任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系。X1+X2=?x1·X2=?x1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2ax1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-bax1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2a=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2=ca你猜对了吗？你猜对了吗？任意的一元二次方程任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=-—x1.x2=—aabbaacc如果一元二次方程如果一元二次方程axax22+bx+c=0+bx+c=0（（a=0a=0）的两个根是）的两个根是xx11，，xx22那那么么xx11+x+x22=-—=-—xx11.x.x22=—=—aabbaacc如果一元二次方程如果一元二次方程xx22+px+q=0+px+q=0的的两个根是两个根是xx11，，xx22那么那么xx11+x+x22=-p=-pxx11.x.x22=q=q例例11已知方程已知方程55x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根是x1那么2x1=-—∴x1=-—.66555533又（-—）+2=-—553355kk答：方程的另一个根是-—，k的值是-7。5533∴k=-5（-—）+2=-75533解：设方程的两个根是x1x2那么x1+x2=-—x1.x2=-—.33222211例例22不解方程，求方程不解方程，求方程22x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2+x22∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1.x2=（-—）2-2（-—）=—332222111313441（2）—+—=————=———=3x111x1.x2x1+x2x211223（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）（1）x2-6x-7=0（-1，7）（2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）（3）2x2-3x+1=0（3，1）（4）x2-4x+1=0（-2+3，-2-3）2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。（口答）11、、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是，m的值是。33、、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x216/316/3161611、、已知关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的积大21。求m的值。22、、如果关于x的方程2x2+3x+5m=0的两个实数都小于1。试求m的取值范围。数学就是这样一种学问；她要求我们扎扎实实地学习，勤勤恳恳地探索。她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智能；她给我们的内心思想添辉，她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。谨以此语献给广大的数学爱好者！
