特殊的平行四边形、梯形二.重点、难点：1.学习重点：（1）理解矩形、菱形、正方形的特性。（2）理解等腰梯形的特性。2.学习难点：（1）理解几种特殊平行四边形与普通平行四边形的区别与联系。（2）理解等腰梯形与平行四边形、等腰三角形之间的关系。【典型例题】一.矩形：1.矩形的概念：有一个内角是直角的特殊的平行四边形，就是矩形，也就是以前常说的长方形。如图1：2.矩形的特性：矩形是平行四边形，因此平行四边形所有的性质，矩形都有，但矩形是特殊的平行四边形。因此，它还有一些特性。（1）矩形是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，因此可知矩形有两条对称轴。（2）矩形的四个角都是直角。实际上，如图1所示，若∠BAD是直角，由AD//BC知∠ABC是直角，由AB//DC知∠ADC是直角。同理可知，∠DCB是直角，故矩形四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分。矩形是平行四边形，故其对角线互相平分。在图中，矩形的四个角是直角，如果绕着对角线的交点O旋转，会发现将其旋转∠COD的度数，AC与BD将会重合，故其长度相等。例1.矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，证明：AC＝2AB。证明：在△AOD中，∠AOD＝120°，故其补角∠AOB＝60°即有OA＝OB而∠AOB＝60°故△AOB是等边三角形有OA＝OB＝AB故AC＝2AO＝2AB3.矩形的识别方法：（1）如果在一个平行四边形中，能找到一个角是直角，则其是矩形。如图3，先判定四边形ABCD是平行四边形，再判定其中有一个角是直角。（2）如果在一个平行四边形中，其对角线相等，则此平行四边形是矩形。如图3，如果在平行四边形ABCD中，有AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形。（3）如果在一个四边形中，有三个角是直角，则此四边形是矩形。如图3，如果在四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC，∠CBA，∠CBA，∠CDA中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形。例2.说明：平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是矩形。分析：此题应先作图，再写已知，最后说明。已知：如图4所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CN、DM分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线。说明：四边形HGOK是矩形解：在平行四边形ABCD中，AB//CD所以∠DAB＋∠ADC＝180°因为AE、DM是∠DAB、∠ADC的平分线所以∠1＋∠2＝90°，所以∠AKD＝90°所以∠OKH＝90°同理，∠AOG＝∠CHD＝90°故四边形HGOK是矩形二.菱形：1.菱形的概念：四条边都相等的平行四边形就是菱形，如图5所示，四边形ABCD就是菱形。菱形即是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，共有两条对称轴。2.菱形的性质：（1）菱形的对角线互相垂直平分如图5所示，在菱形ABCD中，AO＝OC，OB＝OD，且AC⊥BD。（2）菱形的两条对角线将其分成四个完全相等的三角形。如图5所示：在菱形ABCD中，△ABO、△BCO、△CDO、△ADO是全等的，故四个小三角形的面积也相等。例3.如图6所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形。解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC又∠B＋∠BAD＝180°而∠BAD＝2∠B故∠B＝60°在等腰△ABC中，∠B＝60°故△ABC是等边三角形3.菱形的识别方法：（1）用定义识别：四条边都相等的四边形是菱形。如图5，如果在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形。（2）对角线识别：如果平行四边形的对角线互相垂直平分，则四边形ABCD是菱形。如图5，在平行四边形ABCD中，如果AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形。（3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。如图5，在平行四边形ABCD中，如果AB＝AD，或AD＝DC，或DC＝CB，或CB＝AB，则四边形ABCD是菱形。例4.如图7，AD是△ABC的角平分线，DE//CA交AB于E，DF//BA交AC于F。求证：四边形AEDF是菱形证明：在四边形AEDF中，因DE//AC，故DE//AF因DF//AB，故DF//AE所以四边形AEDF是平行四边形又AD平分∠BAC，∠1＝∠2而AB//DF，知∠1＝∠ADF故∠2＝∠ADF△AFD是等腰三角形，AF＝DF由识别方法3知，四边形AEDF是菱形。三.正方形：正方形是以前早就认识的特殊图形，在正方形中，四条边都相等，四个角都是直角，所以正方形可以看作：有一角是直角的菱形。有一组邻边相等的矩形。它拥有菱形、矩形的一切特性。正方形既是中心对称...
