沪科版.九年级上.相似三角形的性质应用.参考资料相似三角形具有许多重要性质：对应边成比例，对应角相等，对应线段（角平分线、中线和高）的比以及周长之比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.这些性质在解题中有着广泛的应用.现举例说明如下,供同学们参考.一、求线段长或线段比例1如图1，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=600，BP=1，CD=，求△ABC的边长.A解析:设△ABC的边长为x,则PC=x－1.D在△APB和△PDC中,因为∠APB=∠C+∠PAC=600+∠PAC,∠PDC=∠APD+∠PAC=600+∠PAC,故∠APB=∠PDC.又∠B=∠C,BPC所以△APB∽△PDC,则=,即=,解得x=3.图1例2如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E.若AF:FD=1:3,则AE:EB=_____;若AF:FD=1:n(n>0),则AE:EB=_____.解析:过D作DG∥AB交AB于点E.由D是BC的中点知,DG是△BCE的中位线,故DG=BE.由DG∥AE得△AEF∽△DGF,则==,而DG=BE,所以=.同理,当AF:FD=1:n(n>0)时,AE:EB=1:2n.AADCEFGDEFOBDCBCAEB图2图3图4G二、求面积或面积比例3如图3,△ABC中,DE∥BC,AD:DB=2:1,梯形DBCE的面积是10cm2,求△ABC的面积.解析:由DE∥BC知△ADE∽△ABC,则S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2.又由AD:DB=2:1,得AD:AB=2:3.于是有=()2=.解得S△ABC=18(cm2).例4如图4,ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,EF交AC于点O,FE的延长线交CB的延长线于G点,那么S△AOF:S△COG=_______.解析:易证△AEF≌△BEG,得AF=BG,则有===.又∵△AOF∽△COG,∴S△AOF:S△COG=(AF:CG)2=1:9.三、证明角相等例5如图5,在Rt△AOD中,∠AOD=900,AO=OB=BC=CD.A(1)∠3与∠4有何关系?证明你的结论;4(2)计算∠1+∠2+∠3的度数.123解析:(1)仔细观察图形,可发现△ABC∽△DBA,则可OBCD探索出∠3=∠4.设AO=OB=BC=CD=1,则DB=2,AB=.图5∵===,∠ABC=∠DBA(公共角),A∴△ABC∽△DBA,∴∠3=∠4.(2)易知∠1=450,又∠2+∠3=∠2+∠4=∠1,PEF∴∠1+∠2+∠3=2∠1=900.四、证明线段成比例BDC例6如图6,已知△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一图6点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:BP2=PE·PF.分析：待证式中的三条线段在同一直线上,不能确定相似三角形,故考虑利用相等线段进行代换.由题设,依据等腰三角形的性质知,AD垂直平分BC,则有PB=PC,结论转化为证PC2=PE·PF,这可确定△PCE∽△PFC.易证△ABP≌△ACP,得∠ACP=∠ABP,而∠ABP=∠F(因为FC∥AB),故有∠ACP=∠F.又∠FPC是公共角,从而△PCE∽△PFC,于是结论获证.
