第十二章轴对称轴对称小结与复习考点一轴对称和轴对称图形例1（2010年贵州贵阳）如图1是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）解析：判断轴对称图形，关键是要看沿直线AB折叠后，两旁的图案是否完全重合，观察四个图形，只有第三个图形符合．故选C点评：本题考查轴对称以及轴对称图形的概念．只有正确掌握它们的相关概念，才能灵活应用它们解题.考点二轴对称变换例2（2010年湖南长沙）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，A，B，C三点在格点上．（１）作出△ABC关于ｙ轴对称的△，并写出点的坐标；（２）作出△关于x轴对称的△，并写出点的坐标．A1B2C2C1B1A2图2图3解析：（1）由图可知△ABC三个顶点的坐标分别是ABDC图1ABA（2，4），B（1，1），C（3，2），它们关于y轴对称的点的坐标分别为A1（-2，4），B1（-1，1），C1（-3，2），顺次连接A1，B1，C1，即得△ABC关于ｙ轴对称的△，如图3所示，且点C1的坐标为（-3，2）．（2）同理可以做出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，如图3所示，点C2的坐标是（-3，-2）.点评：关于坐标轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．利用轴对称作图时，先找到图的顶点关于x（y）轴的对称点，然后顺次连接各点，即可得到求作的图形．考点三轴对称的探究与应用例3（2010年江苏淮安）（1)观察发现如图4-(1)，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点.再如图4-(2)，在等边三角形ABC中，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值AD.（填“大于”、“等于”或“小于”）(1)(2)（3）图4(2)实践运用如图4-(3)，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．解析：（1）因为E是AB的中点，所以CE是△ABC的边AB上的中线.由于△ABC是等边三角形，所以CE又是边AB上的高．又因为AD也是等边三角形ABC的高，所以CE=AD．由做法可知BP+PE的最小值是CE，所以BP+PE的最小值等于AD．图5（2）经过探究可以发现，要使∠APB=∠APD，则点B的对称点一定在直线DP上，因此有如下作法：如图5，找B关于AC对称点E，连接DE，并延长交AC于点P.考点四等腰三角形的性质例4（2010年山东济南）如图6，已知．求证．图6证明一： AB=AC，∴∠B=∠C． AD=AE，∴∠ADE=∠AEC．∴180O-∠ADE=180O-∠AEC，即∠ADB=∠AEC．在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．证明二：作AF⊥BC交BC于点F． AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF． AD=AE，AF⊥BC，∴DF=EF．∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE．点评：本题考查等腰三角形的性质，在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边以及ACEDB三线合一的性质是每年中考的必考考点之一．在证明线段相等时，不要总想着三角形全等，显然方法二比方法一简便．考点五等腰三角形的判定例5（2010山东省德州）如图7，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．(1)求证AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．（１）证明： BE=CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．又 ∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS）.∴AB＝DC．（２）解：△OEF为等腰三角形．图7理由如下： △ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF，则△OEF为等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定，判定等腰三角形时，可以证明三角形内有两个角相等，也可以证明三角形的两条边相等．三角形全等是证明线段、角相等的重要途径．误区点拨误区一对轴对称的性质理解不透例1如果两个图形关于某条直线对称，那么对称点一定在该直线的两侧，这种说法是否正确？错解：正确.剖析：一般来说，两个图形关于某条直线对称，对称点是在该直线的两侧，但两个图形与对称轴相交时，交点的对称点就是它本身．...
