空间向量在立体几何中的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.用向量法证明平行、垂直①理解直线的方向向量与平面的法向量;②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;③能用向量法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);④能用向量法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用2018浙江,19,15分用向量法证明线面垂直线面角★★★2017天津,17,13分用向量法证明线面平行二面角、异面直线所成角2.用向量法求空间角和距离2018课标Ⅱ,20,12分线面角线面垂直★★★2018课标Ⅲ,19,12分二面角面面垂直的判定、三棱锥体积的最值2017课标Ⅱ,19,12分线面角线面平行的判定2016课标Ⅲ,19,12分线面角线面平行的判定分析解读从近5年高考情况来看,利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角(特别是二面角)、空间距离均是高考的热点,考查频率很高,主要考查向量的坐标运算以及向量的平行、垂直、夹角问题,难度中等,多以解答题的形式呈现.应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会把立体几何问题转化为空间向量问题.破考点【考点集训】考点一用向量法证明平行、垂直(2018宁夏银川一中月考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PB=2,PB与平面PCD成45°角,PB与平面ABD成30°角.(1)在PB上是否存在一点E,使得PC⊥平面ADE?若存在,确定E点位置,若不存在,请说明理由;(2)当E为PB的中点时,求二面角P-AE-D的余弦值.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,由题意易知PD=CD=1,BC=❑√2,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(❑√2,1,0),C(0,1,0),则⃗PB=(❑√2,1,-1),设⃗PE=λ⃗PB,∴⃗PE=λ⃗PB=λ(❑√2,1,-1),⃗PC=(0,1,-1),由⃗PC·⃗DE=⃗PC·(⃗DP+⃗PE)=(0,1,-1)·(❑√2λ,λ,1-λ)=0,解得λ=12,即PB上存在点E使得PC⊥平面ADE,且E为PB中点.(2)由(1)知D(0,0,0),A(❑√2,0,0),E(❑√22,12,12),P(0,0,1),⃗DA=(❑√2,0,0),⃗DE=(❑√22,12,12),⃗PA=(❑√2,0,-1),⃗PE=(❑√22,12,-12),设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PAE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则{n1·⃗DA=0,n1·⃗DE=0⇒{❑√2x1=0,❑√22x1+12y1+12z1=0,令y1=1,得n1=(0,1,-1).同理求得n2=(1,0,❑√2),所以cos=n2·n1|n2|·|n1|=-❑√33.易知所求二面角为锐二面角,故二面角P-AE-D的余弦值为❑√33.考点二用向量法求空间角和距离(2018福建四地七校4月联考,10)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则A1B与平面ABD所成角的余弦值为()A.❑√23B.❑√73C.❑√32D.❑√37答案B炼技法【方法集训】方法1求解二面角的方法1.(2018河北五个一名校联考,18)如图,在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,底面△ABC是边长为2的正三角形,A1A=A1C,A1A⊥A1C.(1)求证:A1C1⊥B1C;(2)求二面角B1-A1C-C1的正弦值.解析(1)证明:取A1C1的中点D,连接B1D,CD. C1C=A1A=A1C,∴CD⊥A1C1,(2分) 底面△ABC是边长为2的正三角形,∴AB=BC=2,A1B1=B1C1=2,∴B1D⊥A1C1,(4分)又 B1D∩CD=D,∴A1C1⊥平面B1CD,∴A1C1⊥B1C.(6分)(2)解法一:过点D作DE⊥A1C于点E,连接B1E.易知B1D⊥平面A1CC1,∴B1D⊥A1C, DE∩B1D=D,∴A1C⊥平面B1DE,∴B1E⊥A1C,∴∠B1ED为所求二面角的平面角,(9分) A1B1=B1C1=A1C1=2,∴B1D=❑√3,又 ED=12CC1=❑√22,∴tan∠B1ED=B1DED=❑√3❑√22=❑√6,(11分)可得sin∠B1ED=❑√427,∴二面角B1-A1C-C1的正弦值为❑√427.(12分)解法二:连接OB,取AC的中点O为坐标原点,射线OB,OC,OA1分别为x,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,得A1(0,0,1),B1(❑√3,1,1),C1(0,2,1),C(0,1,0).(7分)∴⃗A1B1=(❑√3,1,0),⃗A1C=(0,1,-1),设m=(x,y,z)为平面A1B1C的法向量,∴{m·⃗A1B1=❑√3x+y=0,m·⃗A1C=y-z=0,令y=❑√3,得m=(-1,❑√3,❑√3).(9分)又⃗OB=(❑√3,0,0)是平面A1CC1的一个法向量,(10分)∴cos=-❑√77,又易知二面角B1-A1C-C1为锐二面角,∴二面角B1-A1C-C1的正弦值为❑√1-(-❑√77)2=❑...
