曲线与方程挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2017课标Ⅱ,20,12分轨迹方程及应用向量的坐标运算★★★2016课标Ⅲ,20,12分轨迹方程及应用两条直线平行,三角形面积公式2016课标Ⅰ,20,12分轨迹方程及应用弦长公式2014湖北,21,14分轨迹方程及应用直线与抛物线的位置关系分析解读1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法——坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.破考点【考点集训】考点曲线与方程1.(2018晋冀豫三省联考,6)已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若⃗MN2=λ⃗AN·⃗NB,则当λ<0时,动点M的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案C2.(2018广东七校二联,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为.答案x24+y23=1炼技法【方法集训】方法求轨迹方程的方法1.(2018湖南怀化调研,8)已知F1、F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,点P是椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.x236+y227=1(y≠0)B.4x29+y2=1(y≠0)C.9x24+3y2=1(y≠0)D.x2+43y2=1(y≠0)答案C2.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是()A.x=±a(y≠0)B.y2=2b(|x|-a)(y≠0)C.x2+y2=a2+b2(y≠0)D.x2a2-y2b2=1(y≠0)答案D过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2016课标Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0).(4分)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由{y=k(x-1),x24+y23=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.所以|MN|=❑√1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-1k(x-1),A到m的距离为2❑√k2+1,所以|PQ|=2❑√42-(2❑√k2+1)2=4❑√4k2+3k2+1.故四边形MPNQ的面积S=12|MN||PQ|=12❑√1+14k2+3.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8❑√3).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8❑√3).(12分)方法总结定义法求轨迹方程的一般步骤:(1)判定动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;(2)设标准方程,求方程中的基本量;(3)写出轨迹方程.2.(2016课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F(12,0).设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A(a22,a),B(b22,b),P(-12,a),Q(-12,b),R(-12,a+b2).记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a||x1-12|,S△PQF=|a-b|2.由题设可得2×12|b-a||x1-12|=|a-b|2,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2...
