圆锥曲线的综合问题探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点定点与定值问题①了解圆锥曲线的简单应用;②掌握解析几何中求解定点、定值问题的方法和步骤2019课标全国Ⅲ,21,12分直线过定点直线与抛物线的位置关系;圆的方程★★★参变量的取值范围和最值问题①了解参变量的意义;②理解解析几何中求解范围和最值问题的基本方法;③理解函数思想和方程思想在圆锥曲线中的应用2018浙江,21,15分三角形的面积的取值范围椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系★★★2019课标全国Ⅱ,20,12分求椭圆的离心率及求参数的取值范围椭圆的定义存在性问题①理解圆锥曲线中存在性问题的基本解法;②理解转化思想在圆锥曲线中的应用2016课标全国Ⅰ,20,12分存在性问题直线与抛物线的位置关系★★☆分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合考查主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判断及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索性问题以及圆锥曲线间的联系等,同时考查学生分析问题及解决综合问题的能力,分值较高,难度较大.客观题以圆锥曲线间的联系为主,凸显知识的连贯性和综合性,着重考查函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.在求解圆锥曲线综合问题时,需要较强的代数运算能力、图形认知能力、逻辑思维能力、数形之间的转化能力,在推理过程中要保持思维的逻辑性,确保结果正确完整.破考点练考向【考点集训】考点一轨迹与轨迹方程(2020届江西南昌开学摸底,20)在平面直角坐标系xOy中,已知Q(-1,2),F(1,0),动点P满足|⃗PQ·⃗OF|=|⃗PF|.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)过点F的直线与轨迹E交于A,B两点,记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.答案(1)设P(x,y),则⃗PQ=(-1-x,2-y),⃗OF=(1,0),⃗PF=(1-x,-y),由|⃗PQ·⃗OF|=|⃗PF|得|-1-x|=❑√(1-x)2+(-y)2,化简得y2=4x,即动点P的轨迹E的方程为y2=4x.(5分)(2)证明:设过点F(1,0)的直线的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由{x=my+1,y2=4x得y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,(7分) k1+k2=y1-2x1+1+y2-2x2+1,x1=my1+1,x2=my2+1,∴k1+k2=y1-2my1+2+y2-2my2+2=(y1-2)(my2+2)+(y2-2)(my1+2)(my1+2)(my2+2)=2my1y2+(2-2m)(y1+y2)-8m2y1y2+2m(y1+y2)+4,(10分)将y1+y2=4m,y1y2=-4代入上式得k1+k2=-8m2-84m2+4=-2,故k1+k2为定值-2.(12分)考点二定点与定值问题1.(2019云南昆明摸底,11)设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不同于准线与x轴的交点),过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点,设MA,MF,MB的斜率分别为k1,k2,k3,则k1+k3k2的值为()A.2B.2❑√2C.4D.4❑√2答案A2.(2019广东二模,20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点.(1)设M,N到y轴的距离分别为d1,d2,证明:d1和d2的乘积为定值;(2)y轴上是否存在点P,当k变化时,总有∠OPM=∠OPN?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.答案(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0.(1分)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18,(2分)从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18,为定值.(4分)(2)存在符合题意的点P.(5分)设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(3-b)(x1+x2)x1x2=-36k+6k(3-b)x1x2=-6k(b+3)x1x2.(9分)因为当k变化时,总有∠OPM=∠OPN,所以k1+k2=0,所以b=-3,(11分)所以存在点P(0,-3)符合题意.(12分)考点三参变量的取值范围和最值问题答案B考点四存在性问题(2019四川凉山州二诊,20)椭圆长轴右端点为A,上顶点为M,O为椭圆的中心,F为椭圆的右焦点,且⃗MF·⃗FA=❑√2-1,离心率为❑√22.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在直线l,使直线l交椭圆于P、Q两点,且点F恰好为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),半焦距为c.则A(a,0),M(0,b),F(c,0),⃗MF=(c,-b),⃗FA=(a-c,0).由⃗MF·⃗FA=❑√2-1得ac-c2=❑√2-1,又ca=❑√22,a2=b2+c2,∴a2=2,b2=1,∴椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)存在. F为△PQM的垂心,∴MF⊥PQ,又M(0,1),F(1,0),∴kMF=-1,∴kPQ=1.设直线PQ:y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=x+m代入x22+y2=1,得3x2+4mx...
