平面向量的数量积及平面向量的应用探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示;③了解平面向量的数量积与向量投影的关系;④掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用2018课标全国Ⅱ,4,5分平面向量的数量积向量的模★★★2015课标Ⅱ,4,5分平面向量的数量积—平面向量数量积的应用①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题2017课标全国Ⅰ,13,5分两向量垂直的充要条件坐标运算★★☆2019课标全国Ⅰ,8,5分平面向量的夹角向量的模2019课标全国Ⅲ,13,5分平面向量的夹角平面向量的坐标运算分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能与函数、解析几何等知识综合在一起以解答题的形式出现,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.破考点练考向【考点集训】考点一平面向量的数量积1.(2020届宁夏银川一中9月月考,5)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=❑√3,|b|=❑√11,且a与a-b夹角的余弦值为❑√33,则a·b等于()A.4B.5C.6D.7答案B2.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,⃗BM=2⃗MA,⃗CN=2⃗NA,则⃗BC·⃗OM的值为()A.-15B.-9C.-6D.0答案C3.已知点A,B,C满足|⃗AB|=3,|⃗BC|=4,|⃗CA|=5,则⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB的值为.答案-25考点二平面向量数量积的应用1.(2020届安徽A10联盟摸底考试,6)在△ABC中,D为边BC的中点,且⃗AD·⃗CD=5,AB=6,则AC=()A.2B.3C.4D.5答案C2.(2020届湖北汉阳模拟,8)若M为△ABC所在平面内一点,且满足(⃗MB-⃗MC)·(⃗MB+⃗MC-2⃗MA)=0,则△ABC为()A.直角三角形B.一般等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案B3.(2019广东普宁一中月考,14)已知|⃗OA|=2,|⃗OB|=4,⃗OA·⃗OB=4,则以向量⃗OA,⃗OB为邻边的平行四边形的面积为.答案4❑√34.(2019广东深圳外国语中学模拟,17)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.答案(1)b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ). a与b-2c垂直,∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=❑√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=❑√17-15sin2β≤4❑√2,当且仅当sin2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4❑√2.炼技法提能力【方法集训】方法1平面向量的模的求解方法1.(2019湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于()A.1B.3C.4D.5答案D2.(2020届河南十所名校9月联考,10)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为()A.❑√2-1B.1C.❑√2D.2答案B方法2平面向量夹角的求解方法1.已知i、j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,12)B.[12,+∞)C.[-2,23)∪(23,+∞)D.(-∞,-2)∪(-2,12)答案D2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos
=.答案-❑√2103.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2❑√33|a|,则向量a+b与a-b的夹角为.答案π3方法3用向量法解决平面几何问题1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且⃗OG·⃗BC=5,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案B2.(2020届黑龙江牡丹江调研考试,14)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,⃗AB=(2,4),⃗AC=(1,3),则|⃗BD|=.答案❑√343.(2020届湖南长沙一中月考,14)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一点,且⃗AE=12⃗AB+⃗BC,|⃗AB|=λ|⃗AD|,若⃗AC·...
