46分大题保分练(一)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2020·赣州模拟)在△ABC中，2sin2－sin＝sinA．(1)求sinA的值；(2)若AB＋AC＝4，△ABC的面积为，求边BC的长．[解](1)由已知可得2sincos＋sin＝2sin2，因为sinA≠0，所以sinA－cosA＝，两边平方可得sinA＝.(2)由sinA－cosA＞0可得tanA＞1，从而A＞90°，于是cosA＝－，因为△ABC的面积为，所以AB·AC＝4，由余弦定理可得，BC＝＝1＋.18．(12分)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2，AA1＝4，点M为C1D1的中点．(1)求证：平面AB1D1∥平面BDM.(2)求直线CD1与平面AB1D1所成角的正弦值．[解](1)证明：由题意得，DD1∥BB1，DD1＝BB1，故四边形DD1B1B为平行四边形，所以D1B1∥DB由D1B1⊂平面AD1B1，DB⊄平面AD1B1，故DB∥平面AD1B1，由题意可知AB∥DC，D1C1∥DC，所以，AB∥D1C1，因为M为D1C1中点，所以D1M＝AB＝1，所以D1MAB，所以四边形ABMD1为平行四边形，所以BM∥AD1，由AD1⊂平面AD1B1，BM⊄平面AD1B1，所以BM∥平面AD1B1，又由于BM，BD相交于点B，BM，BD⊂平面DBM，所以平面DBM∥平面AD1B1.(2)由题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则点D1(0,0,4)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,4)，AD1＝(－1,0,4)，AB1＝(0,1,4)，设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，有令z＝1，则n＝(4，－4,1)，CD1＝(0，－2,4)，令θ为直线CD1与平面AB1D1所成的角，则sinθ＝＝.19．(12分)某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工工资的频数分布表以及B企业员工工资的饼状图如下：A企业：工资(单位：元)人数[2000,3000)5[3000,4000)10[4000,5000)20[5000,6000)42[6000,7000)18[7000,8000)3[8000,9000)1[9000,10000)1B企业：(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；(2)①若从A企业工资在[2000,5000)元的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人工资在[3000,4000)元的人数X的分布列；②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．[解](1)由饼状图知，B企业员工工资不低于5000元的有50＋16＋2＝68(人)，故所求概率为＝0.68.(2)①A企业员工工资在[2000,5000)元中的三个不同层次的人数比为1∶2∶4，按照分层抽样可知，所抽取的7人工资在[3000,4000)元的人数为2，X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，因此X的分布列为X012P②A企业员工的平均工资：×(2500×5＋3500×10＋4500×20＋5500×42＋6500×18＋7500×3＋8500×1＋9500×1)＝5260(元)；B企业员工的平均工资：×(2500×2＋3500×7＋4500×23＋5500×50＋6500×16＋7500×2)＝5270(元)．参考答案1：选企业B，因为B企业员工的平均工资不仅高，且工资低的人数少．参考答案2：选企业A，因为A企业员工的平均工资只比B企业低10元，但是A企业有高工资的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高工资是有可能的．(答案不唯一，只要言之有据，理由充分即可)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝3.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)直线l与圆C交于A，B两点，点P(1,2)，求|PA|·|PB|的值．[解](1)直线l的普通方程为x＋y－3＝0，因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－3＝0.(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得＋－4－3＝0，化简可得t2＋3t－2＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，t1t2＝－2，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)若函数f(x)的最大值为M，设a＞0，b＞0，且(a＋1)·(b＋1)＝M，求a＋b的最小值．[解](1)由题知f(x)＝＝当x＜－3时，由－4≥x＋1，可得x≤－5，即x≤－5.当－3≤x≤1时，由2x＋2≥x＋1，可得x≥－1，即－1≤x≤1.当x＞1时，由4≥x＋1，可得x≤3，即1＜x≤3.综上，不等式f(x)≥x＋1的解集为(－∞，－5]∪[－1,3]．(2)由(1)可得函数f(x)的最大值M＝4，则ab＋a＋b＋1＝4，3－(a＋b)＝ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以(a＋b)2＋4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≤－6(舍去)或a＋b≥2，因此a＋b的最小值为2.
