超市POS机付款问题一、问题描述超市付款问题超市的自动柜员机（POS机）要找给顾客数量最少的现金。请设计算法解决这种付款优化问题。（提示：试写出用动态规划、贪心法等算法策略来解决该问题，找出多个付款方案、并分析程序运行结果和给出算法的复杂性分析。）二、问题分析超市的自动柜员机（POS机）要找给顾客数量最少的现金。例如要找4元6角，如果POS机送出一大堆硬币，比如46个1角钱，就太麻烦了，而最好找2个2元、1个5角和1个1角的。动态规划：假定POS机中有n张面值为Pi(1≤i≤n)的货币，用集合P={p1,p2,...,pn}表示，如POS机需支付的现金为A，那么，它必须从P中选取一个最小子集S，使得pi∈s,∑i=1mpi=A(m=|S|)(1)如果用向量X=(x1,x2,...,xn)表示S中所选取的货币,则xi={01pi∉spi∈S(2)那么,POS机支付的现金必须满足∑i=1nxipi=A(3)并且d=min∑i=1nxi(4)在上述问题中集合P是该问题的输入,满足式(1)和解称为可行解,式(2)是解的表现形式,因为向量X中有n个元素,每个元素的取值为0或1,所以,可以有2n个不同的向量,所有这些向量的全体构成该问题的解空间,式(3)是该问题的约束条件,式(4)是该问题的目标函数,使式(4)取得极小值的解称为该问题的最优解。对POS机付款问题：(1)count[i]表示凑合数量为i所需最少的钱币数量,即最优值。(2)则count[i]=min{count[i-T[j]]+1}(原问题分段)。(3)其中0<=j<=N-1动态规划函数的递进式。(4)满足(T[j]<=i&&count[i-T[j]]+1=p[i],则选取第i张钱币，同时money=money-p[i].否则：不选取第i张钱币，同时i++,进行下一站钱币的判断。直到money!=0.三、算法思想动态规划算法：动态规划法利用问题的最优性原理，以自底向上的方式从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。应用动态规划法设计算法一般分为3个阶段：(1)分段：将原问题分解成为若干个相互重叠的子问题。(2)分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划函数的递进式。(3)求解：利用递进式自底向上计算，实现动态规划过程。贪心算法：顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。可以用贪心法求解的问题中一般具有两个重要的性质：最优子结构性质和贪心选性质。四、C++源代码动态规划算法:#includeconstintM=100;constintN=100;intT[100];//数组T[]表示存放n种货币递增的面值，money表示所要找的零钱intcount[M];//count[i]表示凑合数量为i所需最少的钱币数量,即最优值,则count[i]=min{count[i-T[j]]+1},其中0<=j<=N-1intselect[M];//每个表示count[i]在取最小值时的选择，即上式中的jvoidarray(intT[],intn){inti,j,temp;for(i=1;i<=n;i++)//冒泡排序{for(j=1;j<=n-i;j++){if(T[j]>T[j+1]){temp=T[j];T[j]=T[j+1];T[j+1]=temp;}}}}intmoney_change(intmoney){inti=0;intj=0;for(i=0;i<=M;i++)count[i]=0xffff;count[0]=0;for(i=0;i<=money;i++){for(j=0;j<=N;j++)if(T[j]<=i&&count[i-T[j]]+1>money;cout<<"请输入钱币的种类："<>n;cout<<"请输入各种钱币面值:"<>T[i];cout<<"排序后各种钱币的面值："<
