平面线位误差带几何形状的解析表达*刘文宝①戴洪磊③徐泮林①史文中②(①山东矿业学院，泰安，271019，②香港理工大学，香港)(③东南大学交通学院，南京，210096)THEANALYTICEXPRESSIONOFGEOMETRICFIGUREONPLANARLINE’SERRORBANDLiuWenbao①，DaiHonglei③，XuPanlin①，ShiWenzhong②(①ShandongMiningInstitute,Taian,271019)(②TheHongKongPolytechnicUniversity)(③SoutheastUniversity,Nanjing,210096)AbstractBasedontheenveloptheoryofthefamilyofcurvelines,thispaperderivestheboundarycurve'sfunctionalexpressionofthesegment's“g-band”,testifiesthecontinuationofthefunctionatthebreakpoint,anddrawsaconclusionthatthe“g-band”boundaryisaclosedcontinuouscurve.Furthermore,accordingtoisotropic,homogeneityandisotropic-homogeneity,thispaperalsogivestheerrorband'sequationsandfiguresrespectively.http://www.othermap.com测绘信息网KeywordsLinesegment,Errorband,Boundarycurve,Envelop摘要本文根据求解曲线族包络线原理，导出了描述随机线元线位误差带(“g-带”)边界线的分段函数表达式，证明了函数在分段点处的连续性，得出了“g-带”边界为连续闭合曲线的结论。从理论和实验角度讨论了各向同性、准均匀性和准均匀且各向同性误差带的边界线方程及形状。http://www.othermap.com测绘信息网关键词线元误差带边界线包络线分类号P208http://www.othermap.com测绘信息网1引言在测绘学科中，误差椭圆是衡量平面点位精度的实用方法［1］。在GIS中，误差带是衡量平面线位精度的实用方法［2］。这方面的研究始于Chrisman［3］，后人作了许多发展，有关评述见文献［4］。文献［4］还首次利用随机过程工具提出了一个广义误差带(“g-带”，原文简记为“De-带”)，从理论上概括和统一了已有的一些结果。但迄今的研究仍集中在误差带的定义和概率分布上［4］，很少涉及误差带几何形状的数学描述这一重要问题。http://www.othermap.com测绘信息网由于平面点位误差椭圆是平面解析几何学中的典型二次曲线，其几何形状的数学描述非常简单，即由主轴方向和长、短半轴值三个参数唯一确定。然而，对于GIS中的平面线位误差带，其几何形状的描述则较为复杂。为使讨论具有一般性，本文针对“g-带”探讨其边界线几何形状的解析表达。http://www.othermap.com测绘信息网2线段上任意点的点位误差椭圆方程2.1误差椭圆参数图1线段P0P1Fig.1LinesegmentP0P1如图1，P0P1为由端点P0(x0，y0)和P1(x1,y1)定义的线段，Pt为线元P0P1上任一点。记z0=(x0y0)T，z1=(x1y1)T和zt=(xtyt）T，则已知P0P1端点坐标的协方差阵Σz0z0和Σz1z1可唯一确定Σztzt［4］，进而导出Pt点处误差椭圆的长、短半轴At、Bt和主轴方向φt的计算公式为http://www.othermap.com测绘信息网(1)(2)(3)其中:t=|P0Pt|/|P0P1|，(t∈［0，1］)2.2误差椭圆标准方程http://www.othermap.com测绘信息网将坐标系xOy通过坐标轴的平移和旋转，变换到新坐标系x′O′y′中。这里平移参数为(xt，yt)，旋转参数为(90°-φt)。这时，新坐标系x′O′y′的原点在Pt点处误差椭圆的中心上，y′轴与误差椭圆长轴方向重合，则Pt点处的误差椭圆在新坐标系x′O′y′下的标准方程为(4)其中λ为截面常数［1］。当λ＝1时的误差椭圆方程称为标准误差椭圆。2.3误差椭圆一般方程通过逆坐标变换，得到Pt点的误差椭圆在原坐标系xOy下的一般方程为http://www.othermap.com测绘信息网(5)记X＝x-xt,Y=y-yt，将式(5)化为在平移坐标系XOY下的一般二次曲线方程为utX2+2vtXY+wtY2+dt＝0(6)其中：3线位误差带3.1“g-带”定义http://www.othermap.com测绘信息网利用线段上任一点Pt(xt,yt)处的点位误差椭圆参数At，Bt和φt可画出线元P0P1上的无数个误差椭圆(λ＝1)，如图2(a)。由线元随机过程理论知［4］，只有利用这一误差椭圆族才能完整地描述线元的位置不确定性。如图2(b)，端点P0、P1处的误差椭圆弧AD、BC与误差椭圆族的包络线［4］AB、DC一起构成了以线元真值为核心的带状区域，即为“g-带”。图2“g-带”Fig.2Generalerrorband3.2误差椭圆族包络线方程http...
