经济类考研数学模拟试题选讲(微积分部分)模拟试题选讲(微积分部分)1.设g(x)={2−xx≤0x+2x>0,f(x)={x2x<0−xx≥0,则g[f(x)]=()A.{2+x2x<02−xx≥0B.{2−x2x<02+xx≥0C.{2−x2x<02−xx≥0D.{2+x2x<02+xx≥0知识点:分段函数的复合。2.设函数f(x)在(−∞,+∞)内可导,且对∀x10B.对∀x,有f'(x)≤0C.f(−x)单调增加D.−f(−x)单调增加知识点:(1)函数单调性判别条件的充分性与必要性;(2)f(−x)、−f(x)与f(x)的图象关于坐标轴的对称性。3.设f(x)在x=0处连续,且对一切x1,x2,恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)证明f(x)在(−∞,+∞)内连续。知识点:用定义证明函数的连续性;4.若limx→01αx−1ln[1+f(αx)sinβx]=β,其中α>1,β≠0,则limx→0f(x)x2=。知识点:极限类型的判定及等价无穷小替换。5.设f(x)在x=0处连续,且limx→0ln[1−sinx+f(x)]x=−3则f'(0)=。知识点:(1)极限类型的判定及等价无穷小替换;(2)连续性在求极限中的应用;(3)用定义求函数在一点处的导数。6.设f(x)的导数连续,f(0)=0,且当x→0时∫0f(x)f(t)dt与x2是等价无穷小,则f'(0)=()。A.0B.2C.√2D.3√2知识点:(1)用极限表示等价无穷小;(2)变上限函数求导(类型2);(3)用定义求函数在一点处的导数;(4)抽象复合函数求导的方法。7.设f(x)={∫0x2(x2−t)sintdtxkx≠00x=0,f'(0)存在且不为零,则k=()。A.3B.4C.5D.6知识点:(1)用定义求分段函数在分段点处的导数;(2)罗必塔法则;(3)变上限函数求导(类型2、3)。8.设F(x)={∫0xtf(t)dtx2x≠0Ax=0,其中f具有连续的一阶导数,f(0)=0。(1)求A,使F(x)连续;(2)讨论F'(x)的连续性。知识点:(1)分段函数连续性的判定;(2)分段函数导数的求法;(3)罗必塔法则及变上限函数求导。9.设y=f(x)有连续的导数,且在点(1,0)处有Δy=Δx+ο(Δx),则limx→0∫1exf(t)dtln(1+x2)=。知识点:(1)函数“可微”定义表达式的含义;(2)罗必塔法则以及等价无穷小替换;(3)变上限函数求导(类型2);(4)连续性在求极限中的应用。10.f(x)有连续的二阶导数,且limx→0f(x)+f'(x)1−e−x=1,则f(0)=0()。A.是f(x)的极大值B.是f(x)的极小值C.不是f(x)的极值D.是否极值不能判定知识点:(1)罗必塔法则使用的条件;(2)根据极限类型确定部分极限值的方法;(3)判定极值的第二充分条件。11.设f(x)在x=0的某邻域内有连续的二阶导数,且f'(0)=f''(0)=0,则()。A.x=0是f(x)的零点B.x=0是f(x)的极值点C.当limx→0f''(x)ln(1+|x|)=1时,(0,f(0))为拐点D.当limx→0f''(x)ln(1+x)=1时,(0,f(0))为拐点知识点:(1)零点与极值点的判定;(2)判定拐点的充分条件;(3)左右极限与保号性的应用。12.设y=f(x)二阶可导,如果f(x)既有极值又有拐点,则f'(x)的图象可能是()。A.B.C.D.知识点:(1)读图要领:值的正负、单调性、零点、极值点;(2)判定极值拐点的充分条件。13.讨论k为何值时f(x)=xlnx+k在其定义域内的零点个数分别为0、1、2个。知识点:(1)函数图象的描绘;(2)参数对曲线与x轴交点个数的影响。14.limn→∞(4πarctannn+1)n=()A.e−π2B.e−2πC.eπ2D.e2π知识点:(1)数列极限向函数极限的转化;(2)幂指函数极限的求法;(3)∞⋅0型极限的倒代换以及多层复合函数求导。15.曲线y=(4+5x)e−1x的斜渐近线是。知识点:(1)求斜渐近线斜率与截距的公式;(2)求极限的裂项法、等价无穷小替换或倒代换。16.设a1−a23+⋯+(−1)n−1an2n−1=0,证明方程a1cosx+a2cos3x+⋯+ancos(2n−1)x=0在(0,π2)内至少有一个实根。知识点:对原函数运用罗尔定理证明方程有根。17.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明至少存在一点ξ∈(0,1),使ξf'(ξ)+(aξ+b)f(ξ)=0(a,b为常数且b>0)知识点:用罗尔定理证明含f'(ξ)等式时构造辅助函数的乘因子法。18.设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且limx→1ln[2+f(x)]cosπ2x=0∫12f(x)dx=f(2)证明至少存在一点ξ∈(0,2),使f'(ξ)+f''(ξ)=0知识点:(1)运用各种方法从已知关系式中挖掘隐藏的条件(根据极限类型求值、...