第1页共20页O1O2OABP1P2编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共20页第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、1．如图所示，设滑块出发点为P1，离开点为P2，按题意要求O1P1、O2P2与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P2处脱离滑道的条件是mv2R=mgcosθ(1)由机械能守恒2mgR(1−cosθ)=12mv2(2)(1)、(2)联立解得cosθ=45或θ=arccos45=36∘52'(3)2．设滑块刚能在O点离开滑道的条件是mv02R=mg（4）v0为滑块到达O点的速度，由此得v0=√Rg（5）设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的出发点到O1的连线与竖直的夹角为θ0，由机械能守恒，有mgR(1−cosθ0)=12mv02（6）由（5）、（6）两式解得第2页共20页第1页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共20页θ0=π3（7）若滑块到达O点时的速度v>v0，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于v>v0的滑块，其在OA上出发点的位置对应的θ角必大于θ0，即θ>θ0，由于θmax=π/2，根据机械能守恒，到达O点的最大速度vmax=√2Rg（8）由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v0到vmax之间所有可能的值，也就是说，θ从π/3至π/2下滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v0从O点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O2的距离x0=v0t（9）R=12gt2（10）由（5）、（9）、（10）式得x0=√2R（11）当滑块以vmax从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O2的距离xmax=vmaxt（12）由（8）、（10）、（12）式得xmax=2R（13）因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在√2R到2R之间的所有可能值．即第3页共20页第2页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共20页√2R≤x≤2R（14）二、1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为−q1、−q2和−q3的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量q1+q2+q3．由静电屏蔽可知，点电荷q1及感应电荷（−q1）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（−q2）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（−q3）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量q1+q2+q3作球对称分布．当球外P点处放置电荷Q后，由于静电感应，球面上的总电量仍为(q1+q2+q3)，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O3处的电势由位于P点处的Q、导体球表面的电荷(q1+q2+q3)及空腔3表面的感应电荷（−q3）共同产生．无论(q1+q2+q3)在球面上如何分布，球面上的面电荷到O点的距离都是R，因而在O点产生的电势为kq1+q2+q3R，Q在O点产生的电势为kQ2R，这两部分电荷在O3点产生的电势U'与它们在O点产生的电势相等，即有U'=k(q1+q2+q3R+Q2R)=k(Q+2q1+2q2+2q32R)（1）因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷−q3在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O3点产生的电势为U''=k−q3r(2)第4页共20页第3页共20页abdQTT0SpCFTQ0010001TSpFSpTFRSRpCFSCpFSp0002222C1tan112编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共20页根据电势叠加定理，O3点的电势为U=U'+U''=k(Q+2q1+2q2+2q32R−q3r)(3)故q3的电势能W=q3U=kq3(Q+2q1+2q2+2q32R−q3r)(4)2．由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷−q1的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷−q1在空腔表面分布不均匀，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1最后到达空腔1表面，与感应电荷−q1中和．同理，空腔2中q2也将在空腔表面感应电荷−q2的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷−q2中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量(q1+q2+q3)及空腔3内壁的电荷−q3共同产生，故O3处的电势U与q3的电势能W仍如(3)式与(4)式所示．三、答案...
