椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B,P、Q在椭圆上，PD⊥L于D,QF⊥AD于F，设椭圆的离心率为e，则①e=错误!②e=错误!③e=错误!④e=错误!⑤e=错误!DPQABFO评:AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得,①②④.a2 |AO｜=a，｜OF｜=c,∴有⑤； ｜AO|=a,｜BO｜=∴有③。c题目1：椭圆错误!+错误!=1(a>b〉0）的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e?ABF1F2思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2的中点B，连接BF1，把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解： ｜F1F2｜=2c｜BF1|=c｜BF2|=错误!cc+错误!c=2a∴e=错误!=错误!—1变形1：椭圆错误!+错误!=1(a〉b〉0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上,使△OPF1为PF2OF1正三角形，求椭圆离心率？解:连接PF2，则|OF2｜=｜OF1｜=|OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=错误!—1x2变形2：椭圆+错误!=1（a>b〉0）的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭a2圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？PBF1OF2A解： |PF1｜=错误!错误!｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA|=aPF2∥AB∴错误!=错误!又 b=错误!∴a2=5c2e=错误!点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆错误!+错误!=1(a〉b〉0),A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点,∠ABF=90°，求e?BAOF解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=错误!a2+b2+a2=(a+c）2=a2+2ac+c2a2—c2—ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=错误!e=错误!（舍去）变形：椭圆错误!+错误!=1(a〉b〉0），e=错误!，A是左顶点，F是右焦点,B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评:此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题.答案：90°引申：此类e=错误!的椭圆为优美椭圆。性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1，则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示,结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆错误!+错误!=1（a>b〉0），过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a—m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得:错误!两式相除错误!=错误!e=错误!题目4：椭圆错误!+错误!=1（a〉b>0）的两焦点为F1(—c，0）、F2（c，0），P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1，求e?分析:此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：错误!=错误!=错误!根据和比性质：错误!=错误!变形得：错误!=错误!==错误!=e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e=错误!=错误!点评:在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=错误!变形1:椭圆错误!+错误!=1（a〉b〉0)的两焦点为F1（—c，0）、F2（c,0）,P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求e的取值范围？分析:上题公式直接应用。解：设∠F1F2P=α,则∠F2F1P=120°-αe=错误!=错误!=错误!≥错误!∴错误!≤e〈1变形2：已知椭圆错误!+错误!=1（t〉0）F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β若错误〈!tan错误!b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，错误!+错误!与错误!=(3,—1）共线,求e？错误!A(X1,Y1)OB(X2,Y2)法一：设A(x1，y1）,B(x2,y2)错误!（a2+b2）x2—2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=错误!y1+y2=错误!—2c=错误!错误!+错误!=(x1+x2，y1+y2)与（3，-1）共线，则—（x1+x2)=3（y1+y2）既a2=3b2e=错误!法二:设AB的中点N，则2错误!=错误!+错误!错误!①—②得：错误!=—错误!错误!∴1=—错误!（—3)...
