专题能力训练6导数与函数的单调性、极值、最值专题能力训练第18页一、能力突破训练1.(2019全国Ⅲ,理6)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案:D解析: y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案:D解析:设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0
0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()A.f(1k)<1kB.f(1k)>1k-1C.f(1k-1)<1k-1D.f(1k-1)>kk-1答案:C解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k>0,∴函数F(x)在R上为单调递增函数. 1k-1>0,∴F(1k-1)>F(0). F(0)=f(0)=-1,∴f(1k-1)−kk-1>-1,即f(1k-1)>kk-1-1=1k-1,∴f(1k-1)>1k-1,故C错误.4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.13C.2D.5答案:C解析:依题意得f'(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-2b3a,-2×3=c3a,则b=-3a2,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案:-3解析:设f(x)=(ax+1)ex,可得f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,∴f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.6.已知函数f(x)=ex+mlnx(m∈R,e为自然对数的底数),若对任意正数x1,x2,当x1>x2时都有f(x1)-f(x2)>x1-x2成立,则实数m的取值范围是.答案:[0,+∞)解析:依题意得,对于任意的正数x1,x2,当x1>x2时,都有f(x1)-x1>f(x2)-x2,因此函数g(x)=f(x)-x在区间(0,+∞)内是增函数,于是当x>0时,g'(x)=f'(x)-1=ex+mx-1≥0,即x(ex-1)≥-m恒成立.记h(x)=x(ex-1),x>0,则有h'(x)=(x+1)ex-1>(0+1)e0-1=0(x>0),h(x)在区间(0,+∞)内是增函数,h(x)的值域是(0,+∞),因此-m≤0,m≥0.故所求实数m的取值范围是[0,+∞).7.设函数f(x)=aex+1aex+b(a>0).(1)求f(x)在区间[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=32x,求a,b的值.解:(1)f'(x)=aex-1aex.当f'(x)>0,即x>-lna时,f(x)在区间(-lna,+∞)内单调递增;当f'(x)<0,即x<-lna时,f(x)在区间(-∞,-lna)内单调递减.①当00,f(x)在区间(0,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(-lna)=2+b;②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(0)=a+1a+b.(2)依题意f'(2)=ae2-1ae2=32,解得ae2=2或ae2=-12(舍去).所以a=2e2,代入原函数可得2+12+b=3,即b=12.故a=2e2,b=12.8.设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,{f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即{2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)内单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)内的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).9.已知函数f(x)=1x-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x22,令f'(x)=0,得x=a-√a2-42或x=a+√a2-42.当x∈(0,a-√a2-42)∪(a+√a2-42,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(a-√a2-42,a+√a2-42)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a-√a2-42),(a+√a2-42,+∞)内单调递减,...
