压轴专题（三）第21“”题解答题函数、导数与不等式抢分练1.(2016·武昌调研)已知函数f(x)＝(λx＋1)lnx－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：＞0.2．(2016·合肥质检)已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x2＋x(a∈R)．(1)当a＝0时，记f(x)图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；(2)设函数g(x)＝e－(e为自然对数的底数)，若对于∀x＞0，f′(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．3．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当0＜a＜时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝x2－2bx＋4.当a＝时，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．4．(2016·江苏高考)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)．(1)设a＝2，b＝.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．答案1.解：(1)f(x)的定义域为(0，∞＋)．当λ＝0时，f(x)＝lnx－x＋1.则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是增函数；当x＞1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(1，∞＋)上是减函数．故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.(2)证明：由题可得，f′(x)＝λlnx＋－1.由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.∴f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.由(1)知，lnx－x＋1＜0(x＞0，且x≠1)．当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)＜0，∴＞0.当x＞1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx－x＞0，∴＞0.综上可知，＞0.2．解：(1)f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1.设P(x，y)，由于a＝0，∴k＝x2－2x＋1≥0，即kmin＝0.(2)由g(x)＝e－，得g′(x)＝，易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，∞＋)上单调递减，∴g(x)≤g(1)＝0，由条件知f′(1)≥g(1)，可得a≤0.当a≤0时，f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)2－ax≥(x－1)2≥0.∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0，∞＋)成立．综上，a的取值范围为(∞－，0]．3．解：(1)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，∞＋)，令f′(x)＝0，可得两根分别为1，－1，因为0＜a＜，所以－1＞1＞0，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．(2)a＝∈，－1＝3∉(0，2)，由(1)知，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为f(1)＝－.对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)等价于g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值－，(*)又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1，2]，所以，①当b<1时，g(x)min＝g(1)＝5－2b＞0，此时与(*)矛盾；②当1≤b≤2时，g(x)min＝4－b2≥0，同样与(*)矛盾；③当b＞2时，g(x)min＝g(2)＝8－4b，且当b＞2时，8－4b＜0，解不等式8－4b≤－，可得b≥，所以实数b的取值范围为.4．解：(1)因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.②由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，所以m≤对于x∈R恒成立．而＝f(x)≥＋2＝4，且＝4，所以m≤4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．因为g′(x)＝axlna＋bxlnb，又由0＜a＜1，b＞1知lna＜0，lnb＞0，所以g′(x)＝0有唯一解x0＝log.令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，从而对任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(∞－，∞＋)上的单调增函数．于是当x∈(∞－，x0)时，g′(x)＜g′(x0)＝0；当x∈(x0，∞＋)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.因而函数g(x)在(∞－，x0)上是单调减函数，在(x0，∞＋)上是单调增函数．下证x0＝0.若x0＜0，则x0＜＜0，于是g＜g(0)＝0.又g(loga2)＝aloga2＋bloga2－2＞aloga2－2＝0，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0＜a＜1，所以loga2＜0.又＜0，所以x1＜0，“与0是函数g(x)”的唯一零点矛盾．若x0＞0，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，“与0是函数g(x)的唯一零”点矛盾．因此，x0＝0.于是－＝1，故lna＋lnb＝0，所以ab＝1.
