数列通项公式求法归类类型一：等差型递推数列的通项公式求法1.递推公式：.特别地，当（为常数），且时，它就是等差数列.2.求通项公式的方法：累加.即.例已知数列满足，，求数列的通项公式.解：将两边同除以，得.令，则，且.从而，∴.练习题：类型二：等比型递推数列的通项公式求法1.递推公式：，.特别地，当（为非零常数），且时，它就是等比数列.2.求通项公式的方法：累乘.即.例（2012年全国大纲卷文18）已知数列中，，前项和.（1）求，；（2）求的通项公式.解：（1）.（2）由题设.当时，有，整理得.∴.∴数列的通项公式为.练习：1.已知数列前项和为，且，，求数列的通项公式.解：.从而.故，∴.类型三：含、的递推数列的通项公式求法1.与的关系：注意和情况容易忽略.当时，可统一写成.2.求通项公式的方法：含有的递推关系式，当时，即可用替换，将关系式转化为关于的递推式；也可递推相减，得到后用替换，转化为关于的递推式求解.如何转化要根据具体情况作出具体分析.例已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1），.（2） .∴，.两式相减得，.练习：1.（1）已知数列的前项和，求.结果：（2）数列的前项和为，且，，求.结果：2.已知数列的前项和满足，且.（1）求，的值；（2）求的通项公式；（3）令，问：数列的前多少项的和最大？解：（1），.（2）当时，，∴，∴，∴.（3），易见，是递减数列.令∴，即的前10项和最大.3.（08全国Ⅱ理20）设数列的前项和为.已知，.（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围.解：（1）依题意，，即.∴数列是为首项，2为公比的等比数列.∴，即.（2）由（1）知，当时，，∴，当时，.又.综上，所求的的取值范围是.4.（2012江西理16）已知数列的前项和为，且的最大值为8.（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，取最大值，即，故，因此，从而.又，∴.（2） ，，∴，∴.5.（2012江西文17）已知数列的前项和为（其中为常数），且，.（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）由，得.由，，得，，解得∴，，于是.（2） ，∴，两式相减，得.6.（2012年四川文20（1））已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立.求的通项公式.解：取，得，.若，则.当时，，∴.若，则.当时，，.两式相减，得，即.∴数列是等比数列，首项为，公比为2，∴.综上，当时，；当时，.7.（2012年重庆理21（1）改编）设数列的前项和为满足，其中.求证：.证明：由，得，即. ，∴，得.又由题设条件可知，，两式相减得，即.由，知，因此.从而对都成立，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴.类型四：形如的递推数列的通项公式求法求通项公式的方法：方法一：累加法解一：将与相减，得，从而得是等比数列，再运用，求出.解二：将变形，得，从而通过，得，然后再求.方法二：待定系数法构造等比数列设，与比较系数，得，从而可得是等比数列，再求出.方法三：迭代法方法四：不动点法由求得不动点，在两边同减去，即得是等比数列，从而求出.例（07年全国Ⅱ理21（1））设数列的首项，.求的通项公式.方法一：累加法解一：由得，两式相减，得，∴数列是为首项，为公比的等比数列，∴，∴.练习1.（2012广东文19）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.解：（1）当时，. ，∴，解得.（2）当时，，∴，.以上两式相减，得.∴，即.当时，，，则，∴当时也满足上式.∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴，.2．（08安徽文21）设数列满足，，其中、为实数，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，，，求数列的前项和；（3）若对任意成立，证明.类型五：分式型递推数列的通项公式求法1.递推公式：.2.数列的特征方程：，化为：.3.求通项公式的求法：（1）当特征方程有相异二实根时，可得数列为等比数列.设，则，从而原数列的通项公式为.（2）当特征方程有两相等实根时，有以下两种情形：若，则，数列为常数列；若，可得数列为等差数列.设，则，从而原数列的通项公式为.（3）当特征方程没有实根时，容易验证该数列是周期数列，易求出通项公式.例（1）数...
