积分方法大盘点现把我们学了的积分方法做个大总结。1、二重积分1.1X型区域上二重积分（必须的基本方法）（1）后x先y积分，D往x轴上的投影得区间[a,b]；（2）x[a,b]，Xx截D得截线y1(x)yy2(x)（小y边界yy1(x)大y边界yy2(x)）；（3）f(x,y)dxdyby2(x)Dadxyx,y)dy1(x)f(1.2Y型区域上二重积分（必须的基本方法）（1）后y先x积分，D往y轴上的投影得区间[c,d]；（2）y[c,d]，Yy截D得截线x1(y)xx2(y)（小x边界xx1(y)大x边界xx2(y)）；（3）f(x,y)dxdyd2(y)Dcdyxx(x,y)dx1(y)f1.2极坐标二重积分（为简单的方法）（1）总是后先积分；（2）f(x,y)dd2()f(cos,sin)dD1()其中，在D上是最小的，是最大的；[,]，射线截D得截线1()2()（小边界1()大边界2()）。用坐标关系xcos，ysin和面积元素ddxdydd代入（多一个因子）。当积分区域D的边界有圆弧，或被积函数有x2y2时，用极坐标计算二重积分特别简单。34离散数学2、三重积分2.1二套一方法（必须的基本方法）（1）几何准备(i)将积分区域投影到xOy面，得投影区域Dxy；(ii)以Dxy的边界曲线为准线，作一个母线平行于z轴的柱面．柱面将闭区域的边界曲面分割为上、下两片曲面2:zz2(x,y（大)z边界）；1:zz1(x,y（小)z边界）（(x,y)Dxy，过(x,y)点平行于z轴的直线截得截线z1(x,y)zz2(x,y)）；（2）f(x,y,z)dxdydz=dxdyz2(x,y)Dz(x,y,z)dz。1(x,y)fxy还有两种（往xOz或yOz面投影）类似的二套一方法（举一反三）。2.2一套二方法（为简单的方法）（1）几何准备(i)把往z投影得c,d；(ii)任意给定zc,d，用平面Zz截得截面（与z相关）Dz；（2）f(x,y,z)dxdydzdcdzf(x,y,z)dxdy，Dz还有两种（往x或y轴投影）类似的一套二方法（举一反三）。2.3柱面坐标计算三重积分（为简单的方法）（1）把积分写成二套一f(x,y,z)dxdydz=dxdyz2(x,y)x,y,z)dzDz1(x,y)f(xy（2）用极坐标计算外层的二重积分f(x,y,z)dvdxdyz2(x,y),z)dzDz1(x,y)f(x,yxyd2()dz2(cos,sin)1()z,sin,z)dz1(cos,sin)f(cos（注意：里层的上下限也要用xcos，ysin代入）。（当用极坐标计算外层二重积分简单时。）还有两种（往xOz或yOz面投影的二套一）类似的极坐标计算方法（举一反三）。6离散数学2.3球面坐标计算三重积分（为简单的方法）（1）用坐标关系xrcossin,yrsinsin,zrcos和体积元素dVdxdydzr2sindrdd（多一个因子r2sin）代入f(x,y,z)dvf(rcossin,rsinsin,rcos)r2sindrdd；（2）三种情况定上下限变成三次积分（总是先r后最后积分）f(x,y,z)dvd2()dr2(,)1()r(rcossin,rsinsin,rcos)r2sindr1(,)f当是课堂讲的三种情况或被积函数有x2y2z2时用球面坐标计算简单。3、第一类对弧长的曲线积分3.1平面情形（1）准备L:（2）代入当L:yxyx(t),y(t),(t[,])，dsx2(t)y2(t)dt；Lf(x,y)dsf(x(t),y(t))x2(t)y2(t)dt。xyx(xy(x)[a,b])；当y(x)(x[a,b])时用x作参数L:L:xx(y)(y[c,d])时用y作参数L:xx(y)(yyy[c,d])。3.2空间情形x（1）准备L:yzx(t)y(t)(tz(t)[,])，dsx2(t)y2(t)z2(t)dt；（2）代入y当L:zLf(x,y,z)dsf(x(t),y(t),z(t))x2(t)y2(t)z2(t)dt。y(x)(xz(x)x[a,b])时用x作参数L:yzxy(x)(xz(x)[a,b])；当xL:zx(y)(yz(y)xx(y)[c,d])时用y作参数L:yy(yzz(y)x[c,d])时用z作参数L:yx(z)y(z)(zzz[c,d])。[c,d])；当xL:yx(z)(zy(z)平面是空间的特例。离散数学4、第二类对坐标的曲线积分4.1平面情形xx(t),dxx(t)dt8（1）准备L:yy(t),(t:)，dyy(t)dt；（2）代入LP(x,y)dxQ(x,y)dyP(x(t),y(t))x(t)P(x(t),y(t))y(t)dt。当L:yy(x)(x:ab)时用x作参数L:xxyy(x)(x:ab)；当L:xx(y)(y:cd)时用y作参数L:xx(y)yy(y:cd)。4.2空间情形xx(t)dxx(t)dt（1）准备L:yy(t)(t:)，dyy(t)dt；zz(t)dzz(t)dt（2）代入LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dyP(x(t),y(t),z(t))x(t)P(x(t),y(t),z(t))y(t)R(x(t),y(t),z(t))z(t)dt当L:yy(x)xxzz(x)(x:ab)时用x作参数L:yy(x)(x:ab)；当zz(x)xx(y)L:xx(y)zz(y)(y:cd)时用y作参数L:yy(y:cd)；当zz(y)xx(z)L:xx(z)yy(z)(z:cd)时用z作参数L:yy(z)(z:cd)。zz平面是空间的特例。5、第一类对面积的曲面积分（1）几何准备(i)将曲面S往xOy平面投影的投影区域Dxy；(ii)写曲面的函数S:zz(x,y)(x,y)Dxy，计算dS1zx2zy2dxdy；f...
