数值计算方法复习提纲VIP免费

实用文档数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原那么。1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差E〔x〕=x-x绝对误差限相对误差有效数字*x*xx*Er(x)(xx*)/x(xx*)/x*x*0.a1a2....an10m假设xx*110mn，称x*有n位有效数字。2有效数字与误差关系（1）m一定时，有效数字n越多，绝对误差限越小；（2）x*有n位有效数字，那么相对误差限为Er(x)110(n1)。2a1选择算法应遵循的原那么1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；例In11nxxedx0eI011eIn1nIn1n!△x0△xn2、简化计算步骤，减少运算次数；3、防止两个相近数相减，和接近零的数作分母；防止.实用文档第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法根本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；〔Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法〕3．掌握迭代法的根本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。本章主要解决线性方程组求解问题，假设n行n列线性方程组有唯一解，如何得到其解？a11x1a12x2...a1nxnb1a21x1a22x2...a2nxnb2...an1x1an2x2...annxnbn两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。一、Gauss消去法1、顺序Ｇauss消去法记方程组为：(1)(1)a11x1a12x2(1)(1)a21x1a22x2(1)(1)an1x1an2x2)(1)...a1(1nxnb1(1)(1)...a2nxnb2...(1)(1)...annxnbn消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组(1)a11x1b1(1)(2)(2)(2)b2a21x1a22x2...(n)(n)(n)(n)axax...axbn22nnnnn11第ｋ步假设akk(k)0(k)ij(k)aik(k)(k)akjakka(k1)ijab(k1)ib(k)i(k)aik(k)bk(k)akkk1,...n1i,jk1,....,n回代过程：.实用文档x(b(i)iiji1aij(i)xj)/aii(i)n(n)(n)xnbn/ann(in1,n2,...1)２、Ｇauss—Ｊｏｒｄａｎ消去法防止回代，消元时上下同时消元３、Ｇauss列主元消去法例：说明直接消元，出现错误0.00001x12x22x1x23由顺序Ｇauss消去法，得x2Ｇauss列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。算法：将方程组用增广矩阵〔1〕消元过程：对k=1,2,n-1,选主元，找ik如果ai如果ik1,x10；Abaijn(n1)表示。{k,k1,,n}使得kinaik,kmaxaik,kk0，那么矩阵A奇异，程序结束；否那么执行3。k，那么交换第k行与第ik行对应的元素位置，akjaikj,jk,,n1.,n,计算消元，对i=k+1,〔2〕回代过程：1．假设ann2likaikakk,对j=L+1,,n+1,计算aijaijlikakj0,那么矩阵A奇异，程序结束；否那么执行。xnan,n1ann;对in1,,2,1,计算naijxjai,n1ji1xiaii.实用文档举例说明。4、消元法应用〔1〕行列式计算；〔2〕矩阵求逆。二、利用矩阵三角分解求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为：AX=b假设A=LU，那么LUX=b，记UX=Y那么LY=b假设L、U为特殊矩阵，那么求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。2、Doolittle分解L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一;设L或U是单位三角矩阵,假设能分解,那么可分解唯一.L是单位下三角矩阵,称为Doolittle分解;U是单位上三角矩阵,称为Crout分解；定理:n阶矩阵A有唯一分解的充要条件为A的前n-1阶主子式都不为0.Doolittle分解算法：a11a21...an1na12a22...an2...a1n1u11u12u22...a2nl211...............ll...1...annn1n2...u1n...u2n......unn由矩阵乘法：aijlikukjk1得到：ukjakjlkrurjr1k1jk,k1,...n;lik(aiklirurk)/ukkr1k1ik,k1,...n算法特点：先计算...