专题突破提升练(二)导数与函数、不等式等知识的热点交汇问题命题点一应用导数研究函数的性质题型：选择、填空、解答题难度：中、高命题指数：★★★1.(2015·吉林模拟)已知函数f(x)＝x3－2x2－4x－7，其导函数为f′(x)．①f(x)的单调减区间是；②f(x)的极小值是－15；③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f(x)＞f(a)＋f′(a)(x－a)；④函数f(x)有且只有一个零点．其中真命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】因为f(x)＝x3－2x2－4x－7，所以其导函数为f′(x)＝3x2－4x－4＝(x－2)(3x＋2)，令f′(x)＜0，解得－＜x＜2；令f′(x)＞0，解得x＜－或x＞2；所以函数f(x)的单调递减区间为，所以①错误；根据单调性可判断f(x)的极小值是f(2)＝－15，f(x)的极大值为f＜0，故函数f(x)有且只有一个零点，所以④和②正确；又因为a＞2，对任意的x＞2且x≠a，所以f(x)－f(a)－f′(a)(x－a)＝x3－2x2－4x－a3＋2a2＋4a－(3a2－4a－4)(x－a)，所以x3＋2a3－2x2－2a2－3a2x＋4ax＞0，所以恒有f(x)＞f(a)＋f′(a)(x－a)，故③正确；故选C.【答案】C2．(2015·安徽高考)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.【解析】令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，需f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②不正确．故填①③④⑤.【答案】①③④⑤3．(2015·衡水二模)已知函数f(x)＝ex，a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a＝－1时，求证：f(x)在(0∞，＋)上为增函数；(3)若f(x)在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝ex.(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，所以f(1)＝e，f′(1)＝2e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.(2)证明：当a＝－1时，f′(x)＝ex(x＞0)．设g(x)＝x3＋x2－x＋1，则g′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．令g′(x)＝(3x－1)(x＋1)＞0，得x＞.令g′(x)＝(3x－1)(x＋1)＜0，得0＜x＜.所以函数g(x)在上是减函数，在上是增函数，所以函数g(x)在x＝处取得最小值，且g＝＞0.所以g(x)在(0∞，＋)上恒大于零．于是，当x∈(0∞，＋)时，f′(x)＝ex＞0恒成立．所以当a＝－1时，函数f(x)在(0∞，＋)上为增函数．(3)f′(x)＝ex.设h(x)＝x3＋x2＋ax－a，则h′(x)＝3x2＋2x＋a.①当a＞0时，h′(x)＞0在(0∞，＋)上恒成立，即函数h(x)在(0∞，＋)上为增函数．而h(0)＝－a＜0，h(1)＝2＞0.则函数h(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点x0，即h(x0)＝0，即f′(x0)＝0，且在(0，x0)上，f′(x)＜0，在(x0,1)上，f′(x)＞0.故x0为函数f(x)在区间(0,1)上唯一的极小值点．②当a＝0时，h′(x)＝3x2＋2x＞0，x∈(0,1)恒成立，则函数h(x)在区间(0,1)上为增函数，此时h(0)＝0，所以函数h(x)＞0在区间(0,1)上恒成立，即f′(x)＞0.故函数f(x)在区间(0,1)上为单调递增函数．所以f(x)在区间(0,1)上无极值．③当a＜0时，h(x)＝x3＋x2＋ax－a＝x3＋x2＋a(x－1)，总有h(x)＞0，x∈(0,1)成立，即f′(x)＞0成立．故函数f(x)在区间(0,1)上为单调递增函数．所以f(x)在区间(0,1)上无极值．综上所述，a＞0，即a的取值范围为(0∞，＋)．4．(2015·江苏高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(∞－，－3)∪∪，求c的值．【解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(∞∞－，＋)上单调递增；当a＞0时，x∈∪(0∞，＋)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0∞，＋)上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，x∈(∞－...
