专题突破提升练(四)直线、圆与圆锥曲线的交汇问题命题点一直线与圆问题题型：选择、填空题难度：中、低命题指数：★★1.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1B.C．2D．2【解析】圆C的圆心为(0，－1)，半径为2，直线l过点(1,0)且斜率为－1，故其方程为x＋y－1＝0，所以圆心到直线l的距离为d＝＝，弦长|AB|＝2＝2，又坐标原点O到AB的距离为，所以△OAB的面积为×2×＝1.【答案】A2．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为________．【解析】由题意得直线方程为y＝x＋a，由直线与圆相切的性质得，＝，∴a＝±2.【答案】±23．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．【解析】设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|知，＝2，化简得x2＋(y＋1)2＝4，所以点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆D，又点M在圆C上，故圆C与圆D相交或相切，所以1≤|CD|≤3，而CD＝，所以1≤≤3，解得0≤a≤.【答案】命题点二直线与圆锥曲线问题题型：选择、填空、解答题难度：中、高命题指数：★★★1.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.B.C.D．3【解析】设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切的直线方程为4x＋3y＋t＝0，与抛物线y＝－x2联立得3x2－4x－t＝0，由Δ＝16＋12t＝0得t＝－，两条平行线间的距离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得d＝.【答案】A2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上．若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是()A.B．2C.D.【解析】双曲线的左焦点F1(－c,0)，右焦点F2(c,0)，渐近线l1：y＝x，l2：y＝－x.因为点P在第一象限内且在l1上，所以设P(x0，y0)，x0＞0.因为l2⊥PF1，l2∥PF2，所以PF1⊥PF2，即|OP|＝|F1F2|＝c，即x＋y＝c2.又因为y0＝x0，代入得x＋2＝c2，解得x0＝a，y0＝b，即P(a，b)，所以kPF1＝.l2的斜率为－，因为l2⊥PF1，所以×＝－1，即b2＝a(a＋c)＝a2＋ac＝c2－a2，所以c2－ac－2a2＝0，所以e2－e－2＝0，解得e＝2，所以双曲线的离心率e＝2，故选B.【答案】B3．抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．【解析】设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，因为焦点F与双曲线的右焦点重合，故F(3,0)，所以＝3，p＝6，抛物线方程为y2＝12x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点P(2,0)且斜率为1的直线方程为y＝x－2，代入抛物线方程得x2－16x＋4＝0，∴x1＋x2＝16，∴弦中点到抛物线准线的距离为＝11.【答案】114．(2015·百校联盟模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.(ⅰ)求证原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；(ⅱ)任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求△PAB面积的最大值．【解】(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(ⅰ)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，所以原点O到直线AB的距离为＝.综上，原点O到直线AB的距离为定值.(ⅱ)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，结合椭圆C的方程可得|AB|＝.当直线AB的斜率存在时，由(ⅰ)可得|AB|＝|x1－x2|＝＝，当k≠0时，|AB|≤＝，当且仅当k＝±时等号成立．当k＝0时，|AB|＝.所以|AB|的最大值为，又点P到直线AB的最大距离为＋2.所以S△PAB的最大值为××＝1＋.5．(...
