专题突破练9利用导数证明问题及讨论零点个数1.设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.2.(2019福建漳州质检二,理21)已知函数f(x)=xlnx.(1)若函数g(x)=f(x)x2−1x,求g(x)的极值;(2)证明:f(x)+1
2-lnx1.4.(2019四川成都二模,理21)已知函数f(x)=lnx+a1x-1,a∈R.(1)若f(x)≥0,求实数a取值的集合;(2)证明:ex+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x.5.设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,11,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.6.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.7.(2019天津卷,理20)设函数f(x)=excosx,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈π4,π2时,证明f(x)+g(x)π2-x≥0;(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+π4,2nπ+π2内的零点,其中n∈N,证明2nπ+π2-xn0).当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点,当a>0时,因为e2x单调递增,-ax单调递增,所以f'(x)在(0,+∞)单调递增.又f'(a)>0,当b满足00时,f'(x)存在唯一零点.(2)由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).因为2e2x0−ax0=0,所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.故当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.2.(1)解 g(x)=lnx-1x(x>0),∴g'(x)=2-lnxx2.令g'(x)>0,解得0e2,故g(x)在(0,e2)内递增,在(e2,+∞)内递减,故g(x)的极大值为g(e2)=1e2,没有极小值.(2)证明要证f(x)+10.先证明lnx≤x-1,取h(x)=lnx-x+1,则h'(x)=1-xx,易知h(x)在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减,所以h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x-1,当且仅当x=1时,取“=”,故xlnx≤x(x-1),ex-x2-xlnx-1≥ex-2x2+x-1,故只需证明当x>0时,ex-2x2+x-1>0恒成立.令k(x)=ex-2x2+x-1(x≥0),则k'(x)=ex-4x+1.令F(x)=k'(x),则F'(x)=ex-4,令F'(x)=0,解得x=2ln2. F'(x)递增,∴当x∈(0,2ln2]时,F'(x)≤0,F(x)递减,即k'(x)递减,当x∈(2ln2,+∞)时,F'(x)>0,F(x)递增,即k'(x)递增,且k'(2ln2)=5-8ln2<0,k'(0)=2>0,k'(2)=e2-8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,2ln2),∃x2∈(2ln2,2),使得k'(x1)=k'(x2)=0,故0x2时,k'(x)>0,k(x)递增,当x10,故当x>0时,k(x)>0,原不等式成立.3.(1)解f'(x)=1x-k=1-kxx(x>0),①当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)内递增,②当k>0时,由f'(x)>0,得0x2>0, f(x1)=0,f(x2)=0,∴lnx1-kx1=0,lnx2-kx2=0,∴lnx1-lnx2=k(x1-x2),lnx1+lnx2=k(x1+x2),要证明lnx2>2-lnx1,即证明lnx1+lnx2>2,故k(x1+x2)>2,即lnx1-lnx2x1-x2>2x1+x2,即lnx1x2>2(x1-x2)x1+x2,设t=x1x2>1,上式转化为lnt>2(t-1)t+1(t>1).设g(t)=lnt-2(t-1)t+1,∴g'(t)=(t-1)2t(t+1)2>0,∴g(t)在(1,+∞)上单调递增,∴g(t)>g(1)=0,∴lnt>2(t-1)t+1,∴lnx1+lnx2>2,即lnx2>2-lnx1.4.(1)解f'(x)=1x−ax2=x-ax2(x>0).当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=0,因此当00时,可得函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故当x=a时,函数f(x)取得最小值,则f(a)=lna+1-a≥0.令g(a)=lna+1-a,g(1)=0.由g'(a)=1a-1=1-aa,可知当a=1时,函数g(a)取得最大值,而g(1)=0,因此只有当a=1时满足f(a)=lna+1-a≥0.故a=1.故实数a取值的集合是{1}.(2)证明由(1)可知,当a=1时,f(x)≥0,即lnx≥...
