第8讲曲线与方程一、选择题1.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2.(2017·衡水模拟)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是()A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.答案B3.(2017·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析 M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴M的轨迹方程为＋＝1.答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A.y2＝2xB.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2xD.(x－1)2＋y2＝2解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________.解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的面积等于4π.答案4π7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为________.解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，∴即 点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.答案y＝2x8.在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为________.解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，∴轨迹方程为－＝1(x＞).答案－＝1(x＞)三、解答题9.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1
