第3讲圆锥曲线的热点问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(·金华模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以10)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值等于()．A．5B．4C．3D．2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.答案C6．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是()．A．(0，＋∞)B．C.D．解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，∴2c<10,2c＋2c>10，∴.答案B7．(·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()．A.B．C．3D．2解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴max＝，即＋的最大值为.答案A二、填空题8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.答案69．(·武昌区调研测试)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得d1＋d2＝|PA|－|AB|＋d2＝|PF|－1＋d2，|PF|＋d2大于或等于焦点F到直线l的距离，即|PF|＋d2的最小值为＝，所以d1＋d2的最小值为－1.答案－110．(·安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a.由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，即(y－a)[y－(a－1)]＝0.由已知解得a≥1.答案[1，＋∞)11．(·镇江模拟)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为...
