第3讲圆锥曲线的热点问题(建议用时:60分钟)一、选择题1.(·金华模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是().A.(1,2)B.(1,2]C.(1,)D.(1,]解析因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以10)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A,B两点,则的值等于().A.5B.4C.3D.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,易知直线AB的方程为y=x-p,代入抛物线方程y2=2px,可得x1+x2=p,x1x2=,可得x1=p,x2=,可得===3.答案C6.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是().A.(0,+∞)B.C.D.解析设椭圆与双曲线的半焦距为c,|PF1|=r1,|PF2|=r2.由题意知r1=10,r2=2c,且r1>r2,2r2>r1,∴2c<10,2c+2c>10,∴.答案B7.(·湖北卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为().A.B.C.3D.2解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆,双曲线的离心率分别为e1,e2,由(2c)2=r+r-2r1r2cos,得4c2=r+r-r1r2.由得∴+==.令m====,当=时,mmax=,∴max=,即+的最大值为.答案A二、填空题8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.解析由题意知B,代入方程-=1得p=6.答案69.(·武昌区调研测试)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为________.解析过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为A,交y轴于B,由抛物线方程为y2=4x得焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1,则由抛物线的定义可得d1+d2=|PA|-|AB|+d2=|PF|-1+d2,|PF|+d2大于或等于焦点F到直线l的距离,即|PF|+d2的最小值为=,所以d1+d2的最小值为-1.答案-110.(·安徽卷)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.解析以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a.由得y2+(1-2a)y+a2-a=0,即(y-a)[y-(a-1)]=0.由已知解得a≥1.答案[1,+∞)11.(·镇江模拟)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.解析由题意知,△ABE为等腰三角形.若△ABE是锐角三角形,则只需要∠AEB为...