...第二章函数概念与基本初等函数第12课对称变换 VIP专享VIP免费

第1页共4页对称变换对称变换都有哪些内容？【答】对称变换主要有①y=f(－x)与y=f(x)的图象关于y轴对称;若f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于y轴对称.②y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.③y=－f(－x)与y=f(x)的图象关于原点对称;若f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称.④y=f－1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.⑤y=－f－1(－x)与y=f(x)的图象关于直线y=－x对称.⑥y=f(2a－x)与y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若f(x)=f(2a－x)(或f(a＋x)=f(a－x))则函数自身的图象关于直线x=a对称.⑦y=2b－f(x)与y=f(x)的图象关于直线y=b对称.⑧y=2b－f(2a－x)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.［案例1］证明函数y=11axx(a≠1)的图象关于直线y=x对称.本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y=x对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y=x对称.【证法一】 a≠1,y=a1(1＋axaa11)∴ya1由y=11axx得x(ay－1)=y－1,x=11ayy∴y=11axx(a≠1)的反函数是y=11axx∴y=11axx的图象关于直线y=x对称.【证法二】设点P(x′,y′)是这个函数图象上任一点，则x′≠a1且y′=11xax①易知点P关于直线y=x的对称点P′的坐标为(y′,x′)由①得y′(ax′－1)=x′－1②即x′(ay′－1)=y′－1如果ay′－1=0,则y′=a1,代入①得a1=11xax.解得a=1,与已知矛盾.第2页共4页于是ay′－1≠0,∴由②得x′=11yay这说明点P′(y′,x′)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线y=x成对称图形.【评注】要分清函数本身关于直线y=x对称与两个函数关于直线y=x对称的区别.1.已知函数y=f(x)的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是()A.y=|f(x)|B.y=f(|x|)C.y=f(－x)D.y=－f(x)【解析】y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称.【答案】B8.设函数y=2x的图象为C，某函数的图象C′与C关于直线x=2对称，那么这个函数是()A.y=2－xB.y=22－xC.y=24－xD.y=2x－4【解析】 y=f(x)的图象与y=f(4－x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=2x,则f(4－x)=24－x.【答案】C10.设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x－1)=f(1－x),那么f(x)的图象有对称轴()A.直线x=0B.直线x=1C.直线y=0D.直线y=1【解析】设x－1=t,则f(t)=f(－t)，函数为偶函数，关于y轴对称.【答案】A12.已知函数f(x)=21xx(x≠2),那么函数f(x＋1)的图象关于直线y=x成对称图形的函数是()A.y=13xx(x≠1)B.y=12xx(x≠1)图2—3第3页共4页C.y=112xx(x≠1)D.y=xx32(x≠0)【解析】 f(x＋1)=y=12xx=1＋13x(x≠1)∴x=1＋13y,即上式的反函数是y=12xx(x≠1).【答案】B13.函数y=12xx的图象关于点_____对称.【解析】y=12xx=－1＋11x,y=12xx的图象是由y=x1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1).【答案】(1，－1)16.定义在R上的函数y=f(x)、y=f(－x)、y=－f(x)、y=－f(－x)的图象重合，它们的值域为_____.【解析】函数y=f(x)与y=f(－x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=－f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=－f(－x)的图象重合，说明y=f(x)的图象关于原点对称.即若y=f(x)上任一点(x,y),则也有点(－x,y)、(x,－y)、(－x,－y);根据函数的定义，对于任一x∈R,只能有惟一的y与之对应，从而y=－y,即y=0，故函数的值域为{0}.17.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中①y=f(x)为偶函数，则y=f(x＋2)的图象关于y轴对称.②y=f(x＋2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.③若f(x－2)=f(2－x),则y=f(x)关于直线x=2对称.④y=f(x－2)和y=f(2－x)的图象关于x=2对称.其中正确命题序号有_____(填上所有正确命题序号).【解析】①y=f(x)是偶函数，而f(x＋2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x=－2,所以f(x＋2)图象关于直线x=－2对称.②y=f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)=f(2－x),所以y=f(x)图象关于直线x=2对称.③令x－2=t,则2－x=－t,得f(t)=f(－t),y=f(x)的图象关于y轴对称.④f(x)...