第三讲 函数的奇偶性与对称性 教学及辅导讲义(最新修订版) VIP免费

1第三讲函数的奇偶性与对称性考点一函数奇偶性的判断【知识清单】奇偶性要点1．判断函数的奇偶性(1)函数的定义域要关于原点对称；(2)化简解析式，(3)根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．2．奇偶性类型：（1）奇函数（2）偶函数（3）即是奇函数也是偶函数（4）非奇非偶函数3.奇函数性质（1）奇函数图像关于原点对称（2）若f(x)是奇函数且在x=0处有意义则(0)0f4.偶函数性质（1）偶函数图像关于y轴对称（2）若函数f(x)是偶函数，则()()fxfx5.分段函数奇偶性的判断(1)分类讨论：要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．(2)数形结合法[例1-1](1)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)下列函数：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；④f(x)＝ln(x＋x2＋1)其中奇函数的________．【互动探究】若将本例(2)中①对应的函数改为“f(x)＝1－x＋x－1”，试判断其奇偶性．【1-2】判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝lg1－x2|x－2|－2；(2)f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.考点二函数奇偶性的应用[例2-1](1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝()A．－5B．－1C．3D．4(3)函数y＝f(x)是R上偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则a的取值范围是________．【互动探究】若本例(3)中的f(x)为奇函数，求实数a的取值范围．【变式训练2-2】若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)【变式训练2-3】设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．32【方法总结】1.若对于R上的任意x都有f(a+x)＝f(b-x)成立，则y＝f(x)的图象关于直线2abx对称．2.对于函数y＝f(x)，则y＝f(a+x)与y＝f(b-x)关于直线2bax成立[例3-1]函数()fx关于直线2x对称，且f(x+2)＝f(x)，当[3,2]x时，2()(2)fxx，则5()2f（）A．0B．14C．116D．1考点四函数性质的综合应用【通关指南】对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)单调性与奇偶性相结合；(2)单调性、奇偶性与周期性相结[例4-1](1)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)(3)设函数f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f32＝________.【通关训练】1．f(x)是满足f(x+4)＝f(x)的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)2．已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等实数x1、x2，不等式(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，则不等式f(1－x)＜0的解集为________．【易错警惕】【易错题4-2】若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.考点五试题精选A级基础巩固练1．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且ƒ(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B.||f（x）g(x)是奇函数C．f(x)||g（x）是奇函数D.||f（x）g（x）是奇函数考点三函数的对称性33．已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a...