第四辑数列问题[通关演练A组](建议用时：45分钟)1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝a1－9，a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．(1)解在等比数列{an}中，a5，a3，a4成等差数列，∴2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，整理得：q2＋q－2＝0.解得q＝1，或q＝－2.又a4＝a1－9，即a1q3＝a1－9，当q＝1时，无解．当q＝－2时，解得a1＝1∴等比数列{an}通项公式为an＝(－2)n－1n∈N*(2)证明∵Sn为等比数列{an}的前n项和，∴Sk＝＝，Sk＋1＝，Sk＋2＝，∵Sk＋1＋Sk＋2＝＋＝＝＝＝2·＝2Sk.∴Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列．2．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5＝35，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解(1)设数列{an}的公差为d，由已知得a3＝a1＋2d＝7，又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比，所以82＝(8－2d)(8＋4d)，解得a1＝3，d＝2，所以an＝2n＋1.(2)由(1)得Sn＝n(n＋2)＝＝，所以Tn＝1…－＋－＋－＋＋－＋－＝1＋－－＝，故存在常数m＝.3．已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3…＋＋d2n，又知在数列{bn}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b＝b.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3…项，，第an…项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2013项和．解(1)dn＝，∴an＝d1＋d2＋d3…＋＋d2n＝＝3n.又由题知：令m＝1，则b2＝b＝22，b3＝b＝23…，bn＝b＝2n，若bn＝2n，，则b＝2nm，b＝2mn，所以b＝b恒成立．若bn≠2n，当m＝1，b＝b不成立，所以bn＝2n.(2)由题意知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9…项删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4公比均是8.∴T2013＝(c1＋c3＋c5…＋＋c2013)＋(c2＋c4＋c6…＋＋c2012)＝＋＝.[通关演练B组](建议用时：40分钟)1．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＋n－1＝2(n∈N*)，设cn＝2nan.(1)求证：数列{cn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．(2)按以下规律构造数列{bn}，具体方法如下：b1＝c1，b2＝c2＋c3，b3＝c4＋c5＋c6＋c7…，，第n项bn由相应的{cn}中2n－1项的和组成，求数列{bn}的通项bn.(1)证明在Sn＋an＋n－1＝2①中，令n＝1，得S1＋a1＋1＝2，∴a1＝.当n≥2时，Sn－1＋an－1＋n－2＝2，②①－②得an＋an－an－1－n－1＝0(n≥2)，∴2an－an－1＝，∴2nan－2n－1an－1＝1.又cn＝2nan，∴cn－cn－1＝1(n≥2)．又c1＝2a1＝1，所以，数列{cn}是等差数列．于是cn＝1＋(n－1)×1＝n，又∵cn＝2nan，∴an＝.(2)解由题意得bn＝c2n－1＋c2n－1＋1＋c2n－1＋2…＋＋c2n－1＝2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)…＋＋(2n－1)，而2n－1,2n－1＋1,2n－1＋2…，，2n－1是首项为2n－1，公差为1的等差数列，且共有2n－1项，所以，bn＝＝＝3×22n－3－2n－2.2．已知{an}为等差数列，且a2＝－1，a5＝8.(1)求数列{|an|}的前n项和；(2)求数列{2n·an}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－1，a5＝8，所以解得a1＝－4，d＝3，所以an＝－4＋3(n－1)＝3n－7，因此|an|＝|3n－7|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn，当n＝1时，S1＝|a1|＝4，当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5，当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|…＋＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)…＋＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.又当n＝2时满足此式，综上，Sn＝(2)记数列{2nan}的前n项和为Tn则Tn＝2a1＋22a2＋23a3…＋＋2nan,2Tn＝22a1＋23a2＋24a3…＋＋2nan－1＋2n＋1an，所以－Tn＝2a1＋d(22＋23…＋＋2n)－2n＋1an由(1)知，a1＝－4，d＝3，an＝3n－7，所以－Tn＝－8＋3×－(3n－7)×2n＋1＝－20－(3n－10)×2n＋1，故Tn＝20＋(3n－10)×2n＋1.3．在数列{an}中，a1＝1，{an}的前n项和Sn满足2Sn＝an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在n∈N*，使得λ≤，求实数λ的最大值．解(1)由题意，当n≥2时，2Sn－1＝an,2Sn＝an＋1，两式相减得2an＝an＋1－an，即an＋1＝3an，又a2＝2a1＝2，可见数列{an}从第二项起成公比为3的等比数列．所以当n≥2时，an＝a2·3n－2＝2·3n－2，故an＝(2)令bn＝，当n≥2时，bn＝当n≥2时，bn＋1－bn＝－＝＝<0.所以当n≥2时，bn＋1
