2016届高考数学热点难点一网打尽：专题01如何破解集合间的关系类问题(解析版)第01讲如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，即∅⊆A，空集是任何非空集合的真子集，即∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】设集合A，B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则A等于()A．{1,2}B．{2,3}C．{3,4}D．{1,4}解析：如图1所示．由于(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则有∁UA＝{1,2}．∴A＝{3,4}．答案：C【例2】设全集U＝R，集合N＝{y|y＝3－2x},M={x|y=√3−3x}，，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|1
1}．由2x>0，得3−2x<3，即N={y|y<3}．因此题图中阴影部分表示的集合是(∁RM)∩N＝{x|15¿¿。（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围。招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系。这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．2/6【例5】已知集合A={x|x2−4mx+2m+6=0,x∈R},B={x|x<0}，},若A∩B≠∅，求实数m的取值范围。解析：由题意知A≠∅，故设全集U={m|(−4m)2−4(2m+6)≥0}={m|m≤−1m或≥1.5}，假设A∩B=∅，即方程x2−4mx+2m+6=0的两根均为非负，则有：{Δ≥0¿{4m≥0¿¿¿¿，解得m≥32，若A∩B≠∅，则集合{m|m≥1.5}在U中补集{m|m≤−1}即为所求。方法、规律归纳:1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．4．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1.实战演练:1、集合A＝{y∈R|y＝2x}，B＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是()A．A∩B＝{0,1}B．A∪B＝(0，＋∞)C．(∁RA)∪B＝(－∞，0)D．(∁RA)∩B＝{－1,0}解析： A＝{y∈R|y＞0}＝(0，＋∞)，∴A∩B＝{1}，A∪B＝{－1,0}∪(0，＋∞)，(∁RA)∪B＝(－∞，0]∪{－1,0,1}＝(－∞，0]∪{1}，(∁RA)∩B＝(－∞，0]∩{－1,0,1}＝{－1,0}，选D.2.已知集合A={y|y>a2+1或y
