圆的综合类型1：圆割（切）线产生的相似图形（1）如图，AD和AE与圆O相交，则有：□ABCDDADE。如果把图形剥离出来，就是我们常见的A型相似。证明：【变化】若弦DEDBC，便得平行线A型相似。（2）现在，我们把AE绕点A顺时针旋转，旋转至AE与圆O相切的位置，记切点为B，此时，相当于点B与点E重合于点B，有：□ABCDDABD，此图为切割线定理的基本图形，如下图；若把圆去掉，变得到了“母子型”相似。证法一】如下图：证法二】如下图：ACCAAOccBAEEBCF类型二：相交弦产生的相似图形(3)如图，弦AB、CD相较于点E,则有：□AECMDEB,△AED^^CEB。若把圆去掉，变得到8字相似模型，如下图：证明：【变化】若是把弦AC、BD调整为平行的两条弦，便得到平行线8字模型。这个基本图形,还在如下两类图形里经常出现,如下图：类型三：直径所对的圆周而产生的相似模型(4)如图,BC与圆O相切于点B,AC与圆O相交于点D，AB为圆O的直径，有：□ABDMACBMBCD。若把圆O去掉，便得到了基本的垂直相似模型，如下图：由于口ABC=90°,所以，可以把圆的位置移动一下，便得到了下图。AC为直径，BDDAC于点D,有:□ABDMACBMBCD。有：□ABDMACBMBCD。DABc由于□CDB=90°,所以，可以把圆的位置再移动一下，便得到了下图。BC为直径，ABDBC于点B,【例1】如图，AB、CD是圆O的直径，BE是圆O的弦，且BEDCD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC。（1）求证：BC平分口APB；（2）求证：PC2=PB-PE；（3）若BE-BP=PC=4，求圆O的半径。【例2】（2017•雅礼期末）如图，四边形ABCD内接于圆O,AB是直径，AD=DC。分别延长BA、CD,交点为E。作BFDEC，并与EC的延长线交于点F，连接BD。（1）求证：□BFCDDBDA；（2）若AE=AO，求cosDADE；（3）在⑵的条件下，若BC=6，求BF的长。F【例3】（2017・南雅期末）如图，已知DABC中，BA=BC,以AB为直径的圆O与AC交于D点，过点D作DFDBC交AB的延长线于点E,垂足为F。（1）证明：DE为圆O的切线；1（2017•青竹湖期末）如图，点A、B、C是圆O上的三点，ABDOC。（1）求证：AC平分DOAB；（2）过点O作OEDAB于点E，交AC于点P,若AB=4,OP=2PE，求圆O的半径长和OP的长。2、（2017・师大附中期末）如图，DABC内接于圆O,AD是圆O直径，E是CB延长线上一点，且□BAE=DC。（1）求证：直线AE是圆O的切线；（2）若口BAE=30°，圆O的半径为2，求阴影部分的面积；4（3）若EB=AB，cosE=5，AE=24，求EB的长及圆O的半径。求证：CE=CB；连接AF、BF，求口ABF的正弦值;4（2017•长郡期末）如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDDOA交弦AB于点E，交圆O于点F，且BC是圆O的切线。（1（2）5（2018雅礼第三次月考）如图，AB是圆O的直径，点D、E在圆O上，mA=2DBDE，点C在AB的延长线上，□C=DABD。（1）求证：CE是圆O的切线；（2）连接BE，求证：□CEB=DBDE。（3）若BF=2，EF二＜11，求圆O的半径。3（2017・明德期末）如图，在DABC中，口。=90。，点O在AC上，以OA为半径的圆O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE。（1）判断直线DE与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6,BC=8,OA=2，求线段DE的长。6、如图，已知圆O为DABC的外接圆，且AB=AC,过A作AF交CB的延长线于点F,交圆O于点E,连接BE,D为弧AC上一点，连接AD、CD,且BE=AD。(1)求证：□ADCDDFBA；(2)若AB=6,DC=3,求tanDCAD的值。7、如图，CD是0O的切线，点C在直径AB的延长线上.(1)求证：ZCAD=ZBDC；2(2)若BD=3AD,AC=3,求CD的长.8、(2017・广益第三次月考)如图，△ABC内接于圆O,CD平分ZACB交圆O于D,过点D作PQ〃AB分别交CA、CB延长线于P、Q。连接BD。(1)求证：PQ是圆O的切线；(2)求证：BD2二AC-BQ；41(3)若AC、BQ的长是关于x的方程x+—=m的两实根，且tanZPCD=三，求圆O的半径。x3
