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高三数学:《直线与圆的方程》复习指导(二)VIP免费

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《直线与圆的方程》复习指导(二)一热点剖析直线与圆是最基本的图形,有关直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的题型在考试中出现较多.空间直角坐标系及空间两点之间的距离常与空间向量结合出现.与圆有关的应用问题也是考查的热点,既有基本知识的应用,又有综合运用知识分析问题、解决问题的综合应用.二圆的方程1.确定圆的方程的条件圆的标准方程222()()xaybr中,有三个参数abr,,,只要求出abr,,,圆的方程就被确定.因此确定圆方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于abr,,的方程组求abr,,,或直接求出圆心()ab,和半径r,一般步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为222()()xaybr;(2)根据已知条件,建立关于abr,,的方程组;(3)解方程组.求出abr,,的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.点00()Pxy,与圆的位置关系若22200()()xaybr,则点P在圆上;若22200()()xaybr,则点P在圆外;若22200()()xaybr,则点P在圆内.3.二元二次方程220xyDxEyF是否表示圆的条件先将二元二次方程配方,得22224224DEDEFxy()(1)当2240DEF时,方程()表示以22DE,为圆心,22142DEF为半径的圆;(2)当2240DEF时,方程()表示点22DE,;(3)当2240DEF时,方程()没有实根,因此它不表示任何图形.当方程()表示圆时,我们把它叫做圆的一般方程,确定它需要三个独立条件DEF,,,且2240DEF,这就确定了求圆的方程的方法――待定系数法.注意:用待定系数法求圆的方程,用一般形式比用标准形式在运算上简单,前者解的是三元一次方程组,后者解的是三元二次方程组.4.直线与圆的位置关系有三种,即相交、相切和相离,判定的方法有两种(1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解,即0,则相交;若有两组相同的实数解,即=0,则相切;若无实数解,即0,则相离.(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当dr时,直线与圆相交;当dr时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相离.用心爱心专心注意:为避免运算量过大,一般不用代数法,而是用几何法.5.直线与圆相切,切线的求法(1)当点00()Pxy,在圆222xyr上时,切线方程为200xxyyr;(2)当点00()Pxy,在圆222()()xaybr上,则切线方程为200()()()()xaxaybybr;(3)斜率为k且与圆222xyr相切的切线方程为21ykxrk.提示:斜率为k且与圆222()()xaybr相切的切线方程的求法,可以设切线为ykxm,然后变成一般式0kxym,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.(4)点00()Pxy,在圆外,则设切线的方程为00()yykxx,变成一般式后,利用圆心到直线的距离等于半径,解出k,注意若此方程只有一个实根,则还有一条斜率不存在的直线,不要忽略.6.圆与圆的位置关系从交点个数,也就是方程组的解的个数来判断,有时得不到确切的结论.比如两圆只有一个交点时,虽然相切,但是是外切还是内切就很难分清楚.所以判断两圆的位置关系.通常还是从圆心距与两圆半径的关系下手,设两圆的圆心分别为12OO,,半径分别为12rr,,圆心距12OOd,则两圆相离12drr;两圆外切12drr;两圆相交1212rrdrr;两圆内切12drr;两圆内含120drr;两圆是同心圆0d.7.直线和圆的方程的应用用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,然后对坐标和方程进行代数运算,最后把代数运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素.将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过代数运算,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何...

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