高三数学：3.3《函数的和、差、积、商的导数》（人）VIP免费

3.3函数的和、差、积、商的导数一、复习：1.求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy的增量的比值求函数的增量与自变量.lim)()3(0xyxfyx求极限，得导函数2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.3.常见函数的导数公式:公式1:)(0为常数CC公式2:)Qn(nx)x(nn1公式3:xcos)x(sin公式4:xsin)x(cos二、新课：由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:.)(vuvu证:),()()(xvxuxfy;vu)]x(v)xx(v[)]x(u)xx(u[)]x(v)x(u[)]xx(v)xx(u[y,xvxuxy);()(limlim)(limlim0000xvxuxvxuxvxuxyxxxx即:.)(vuvuy2.积的导数:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即.)(vuvuuv证:),()()(xvxuxfy),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy.)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx即:.)(vuvuuvy3.商的导数:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:.)(uCCu法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即:).0()(2vvvuvuvu思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数公式吗?有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:.xxy)(;xsinxy)();x)(x(y)(;xxxy)(;xxxy)(;xsinxy)(3365233244532332122223243答案:;xcosxy)(231;1-xxy)(2423;xxy)(56632;xsinxcosxxsinxy)(2225.)x(xxy)(2223366.xxy)(981842例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件A(2)下列函数在点x=0处不可导的是()(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx(C)y=xsinx(D)y=+cosxxD(3)若则f(x)可能是下式中的(),1)(2xxf3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxAB(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是()),43[]2,0)[(]43,2()2,0)[(),43)[(]43,0)[(DCBAD例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?.16t4t-ts23441解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.(2)即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,,0)(,3212)(23tstttts令故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的...