高三数学解题方法谈：不等式的“合作意识”VIP免费

不等式的“合作意识”不等式是高中数学的重点知识，它是一种重要的解题工具．预测今后高考在考查不等式的基本概念、性质和运算的同时，会更加注重在知识的交汇点处命题，与其它知识的融合与渗透，将成为高考的热点．通过分析近两年的考题，我们发现不等式与下列知识点的“合作意识”很强．一、不等式与集合“合作”例1（2006年全国卷Ⅰ·理）设集合2{0}{2}MxxxNxx，，则（）．（Ａ）MN（Ｂ）MNM（Ｃ）MNM（Ｄ）MNR解析：由题意，得{01}{22}MxxNxx，，则{01}{22}MNxxMMNxxN，．故应选（B）．点评：本题考查了解一元二次不等式、集合的运算等，比较简单，我们平时在练习这类题时，也可以适当加深难度．二、不等式与函数“合作”例2（2006年山东卷·理）设12322()log(1)2.xexfxxx，，，≥．则不等式()2fx的解集为（）（A）（1，2）∪（3，+∞）（B）（10，+∞）（C）（1，2）∪（10，+∞）（D）（1，2）解析：要求出满足题意的不等式的解集，需有1222.xex，．或23log(1)22.xx，≥．分别解这两个不等式组，得12x，或10x．故选（C）．点评：融指数、对数、分类讨论于“简单”的不等式中，实为难得一练的好题．三、不等式与数列“合作”例3（2006年湖北卷·理）已知二次函数()yfx的图象经过坐标原点，其导函数为()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点()()nnSnN，均在函数()yfx的图象上．（1）求数列{}na的通项公式；用心爱心专心（2）设13nnnnbTaa，是数列{}na的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；解：（1）依题意可设2()(0)fxaxbxa，则()2fxaxb，由()62fxx，得32ab，，所以2()32fxxx．又由点()()nnSnN，均在函数()yfx的图象上，得232nSnn．当2n≥时，221(32)[3(1)2(1)]65nnnaSSnnnnn；又当n=1时，21131211615aS．所以65()nannN．（2）由（1），得133111(65)[6(1)5]26561nnnbaannnn，故1111111111277136561261nTnnn．因此，使得111()26120mnnN成立的m必须且仅需满足1220m≤，即10m≥，故满足要求的最小正整数m为10．点评：本题把二次函数、导数、等差数列求和、不等式等知识交汇在一起，对推理能力的要求较高，特别是从11126120mn到1220m≤，这一步推理的思维跨度较大．四、不等式与向量“合作”例4（2005年湖北卷）已知向量(22)(5)k，，，ab．若a+b不超过5，则k的取值范围是（）．（A）［－4，6］（B）［－6，4］（C）［－6，2］（D）［－2，6］解析：∵2222(52)(2)13425kkka+b≤，∴24120kk≤，解得62k≤≤．用心爱心专心即k的取值范围为[62]，．故选（C）．点评：向量的数量积cos，ab=abab自身与不等式联系就非常密切．五、不等式与新定义“合作”例5（2005年辽宁卷）在R上定义运算:(1)xyxy．若不等式()()1xaxa对任意实数x成立，则（）．（Ａ）11a（Ｂ）02a（Ｃ）1322a（Ｄ）3122a解析：∵()()()(1)xaxaxaxa，∴不等式()()1xaxa对任意实数x成立，即()(1)1xaxa对任意实数x成立，即2210xxaa对任意实数x成立．∴由214(1)0aa，解得1322a．故选（C）．点评：本题的新定义不过是一种运算变换，注意观察，将问题转化为二次不等式恒成立问题，难度其实并不大．用心爱心专心