四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。一、点关于点的对称如果点P)(00yx，与P关于点M（a，b）对称，则M是线段PP的中点，P)(00yx，）的对称点，（关于点baMP()2200ybxa，(依据中点坐标公式)特别的P)(00yx，关于坐标原点对称P(00yx，)二、点关于直线对称求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P的坐标的问题。(1)直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x、y=-x、x轴、y轴、x=a、y=b时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。(2)直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。(3)公式法.设P1的坐标为(x1，y1)，由公式220001220001)(2)(2BACByAxByyBACByAxAxx求出x1、y1的值。三、直线和直线关于点对称求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A1x+B1y+C1=0中的x换为2x0-x、y换为2y0-y，即可求出要求直线的方程。四、直线关于直线对称求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。(1)直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x轴、y轴、y=x、y=-x时，直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。(2)直线A0x+B0y+C0=0为一般直线时:1>直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。2>若直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0相交于一A点时,利用到角公式就可以求得直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。关于这四类对称的应用常见的有这样几种类型：用心爱心专心一、角平分线问题已知ABC的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求BC边所在的直线方程。解：A关于l1：y+1=0对称点A1（-1，2），A（-1，-4）关于l2：x+y+1=0的对称点A2（3，0）。∵l1和l2分别是内角B、C的平分线，∴A1，A2在BC上，∴BC的直线方程由两点式的x+2y-3=0。二、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。这样,就知道了反射光线BD上两点的坐标,由两点式就得到反射线所在直线方程。例2：光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线的方程.解：设M′是M（－2，3）关于x轴的对称点，则M′的坐标为（－2，-3）.又反射线所在直线就是过点M′、P的直线，所以反射线所在的直线方程为212303xy，即：x－y－1＝0三、线段之和最小问题例3求y=22)3()3(xx+22)5()1(xx的最小值解：原式可转化为点(x,x)到A（-3，3），B（1，5）两点的距离之和.∴此题即为直线y=x上求一点P，使P与两点A（-3，3），B（1，5）的距离之和最小，B（1，5）关于y=x的对称点B1（5，1），连AB1交直线y=x于点P，设P1为y=x上不同于p的点，则∣P1A∣+∣P1B∣=∣P1A∣+∣P1B1∣＞∣AB1∣=∣PA∣+∣PB∣，P为所求，最小值为∣AB1∣=22)13()53(=217地址：江苏南师大镇江实验中学陈强老师邮编：212000用心爱心专心
