高三数学第一轮复习：球部分复习人教版知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习：球部分复习人教版【本讲教育信息】一.教学内容：球部分复习二.知识结构：【典型例题】[例1]在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别是和，球心不在截面间，求球面面积。解题：如图1，设球半径为R，由已知CE=7，AF=20，EF=9则由，即，解得R2=625即球面面积为图1[例2]过半径为R的球面上一点作两两垂直的弦SA、SB、SC（1）求证：为定值；（2）求三棱锥S—ABC的体积的最大值。解题：（1）如图2，设SA、SB确定的平面截球面为球小圆O1 SA⊥SB∴AB为小圆直径，连结SO1并延长交小圆于D，连结SD SC⊥SA，SC⊥SB∴SC⊥平面SAB又由SDC平面SAB∴SC⊥SD∴截面SCD为球大圆，即CD过球心O∴而CD=2R故图2（2）三棱锥体积设为，则用心爱心专心故当且仅当SA=SB=SC时，三棱锥S—ABC取得最大值小结：（1）在解球的问题时，经常利用截面，把球的问题转化为圆的问题来处理。（2）解最值问题的一般方法是建立目标函数，利用代数方法求该函数的最值，本题用到了均值不等式，即若，则，当且仅当时，等号成立。[例3]一等边圆锥（轴截面为正三角形）内接于一球，若圆锥底面半径为，求该球的体积和表面积。解题：如图3，设圆锥的轴截面截球面为大圆O，S为圆锥的顶点，SC为轴，又设球半径为R由，则，即由，则故由球的体积公式和表面积公式，得图3小结：把两个或两个以上的简单几何体组成在一起而形成的几何体叫结合体或组合体，它的构成一般有切接形式，若结合只涉及有公共旋转轴的旋转体，一般利用轴截面转化为平面问题来处理。[例4]设地球上有A、B两点，它们各在北纬30°、60°的纬度圈上，且经度差为90°，求A、B两点间的球面距离。解题：如图4，设A、B两点分别位于北纬30°、60°的纬度圈⊙O1和⊙O2上利用异面直线上两点间距离公式，有用心爱心专心在球大圆ABO中，设弦AB所对的圆心角为，则由余弦定理故即A、B两点间的球的距离为图4[例5]如果正四棱柱的所有顶点都在一个半径为R的球面上，求这样的正四棱柱体积的最大值。解题：如图5，取正四棱柱对角面所在平面，截得球大圆O，设正四棱柱底面正方形边长为，高为由，，有即设正四棱柱的体积为V，则即体积的最大值为图5[例6]将两个棱长相等的正四面体和正八面体拼接起来，使其中一个面完全重合，求拼接所得的新的多面体的面数。解题：如图6，ABCDEF为正八面体，BCEG为正四面体，取BE中点M，连结AG、GM、CM，则是二面角A—BE—C的平面角，是二面角G—BE—C的平面角由正八面体和正四面体的性质易得故与互补，即面ABE与面GBE共面同理可证面BCF与面BCG共面，面GEC与面DEC共面用心爱心专心所以，拼接所得的新的多面体为七面体。图6[例7]求半径为R的球内接正三棱锥的最大体积。解：在正三棱锥S—ABC中，作SG⊥面ABC于G，则G为正的中心在SG上取一点O，使OS=OA=OB=OC=R设AB=，则OG=设，，则在中，当且仅当，即时取“=”。[例8]（2003安徽初赛）在边长为1的正方体C内，作一个内切大球O，再在C内的一个角内，作小球O2，使它与大球外切，同时与正方体的三个面相切，则球O2的面积为（）A.B.C.D.解：如图，设球O2的半径为，且设球O2作在内，则球心O1，O2在对角线BD1上设，则在中，于是用心爱心专心，则故选A。[例9]一个球外接于四面体ABCD，另一个半径为1的球与平面ABC相切，且两球内切于点D，已知AD=3，，，则四面体ABCD的体积等于（）A.B.C.3D.5解：选A首先证明四面体ABCD的高DH为另一个球的直径，如图，设DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则AE=AF=AD从而，，因此，四面体外接球的中心在DH上故AD=BD=CD，则AC=AB=2AE=于是，所以，[例10]在棱长为的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面的棱的中点作直线，该直线被球面截在球内的线段长为（）A.B.C.D.解：选B如图，M，N是正方体的两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与内切球O的表面相交于用心爱心专心E1F两点，连结MO交对棱于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG⊥EF，又易知PN⊥MN，从而OG//PN，且，在中，，则，故EF[例11]一个球与正四面体ABCD的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，求这个球的体积。解：如图，设球O与正四面体ABCD的各棱都相切，其中与AB切于E，与CD相切于F，交换A与...