高三数学第一轮复习：数学归纳法人教实验版（B）VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习：数学归纳法人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：高三复习专题：数学归纳法二.教学目的掌握数学归纳法的原理及应用三.教学重点、难点数学归纳法的原理及应用四.知识分析【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（*0,knkN）时命题成立，证明当1nk时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。2、运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。用心爱心专心【典型例题】例1.用数学归纳法证明：*Nn时，1n2n1n21n21531311。解析：①当1n时，左边31311，右边112131，左边=右边，所以等式成立。②假设1kkn时等式成立，即有1k2k1k21k21531311，则当1kn时，3k21k211k2k3k21k211k21k215313113k21k21k3k23k21k213k2k211k21k3k21k，所以当1kn时，等式也成立。由①，②可知，对一切*Nn等式都成立。点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由kn到1kn时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由kn到1kn的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。本题证明1kn时若利用数列求和中的拆项相消法，即1k21k215313113k21k21]3k211k211k211k215131311[213k21k3k21121，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确1kn时证明的目标，充分考虑由kn到1kn时，命题形...