第8章第8节一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案]C[解析]已知n1与n2既不平行也不垂直，所以平面α，β相交但不垂直．2．(2010·全国卷Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.[答案]D[解析]该题考查正方体的性质，直线与平面所成的角，考查坐标法．建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，设边长为1，BB1＝(0,0,1)平面ACD1的一个法向量n＝(1,1,1)，∴cos〈BB1，n〉＝＝，∴BB1与面ACD1所成角的余弦值为.3．已知正四面体ABCD，则二面角A—BC—D的余弦值为()A.B.C.D.[答案]B[解析]如右图所示，E为BC的中点，连接AE，ED，则∠AED为二面角A—BC—D的平面角．解△AED，得cos∠AED＝.4．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是()A.B.C.D.[答案]A[解析]建立如下图所示的坐标系，设BC＝1，则A(－1,0,0)，F1，B(0，－1,0)，D1，即AF1＝，BD1＝.∴cos〈AF1，BD1〉＝＝.5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()A.B.C.D.[答案]B[解析]解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F. A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC， AB＝AC.∴AE⊥BC.用心爱心专心1∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点面距离．AA1＝1，AE＝，∴AF＝.解法2：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又 A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.∴S△A1BC＝×2×2＝2.∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为.解法3：设BC中点为O， △ABC为正三角形，∴AO⊥BC，以O为原点，直线AO，BC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A(－，0,0)，A1(－，0,1)．设n＝(x，y,1)为平面A1BC的一个法向量，则，∴，∴，∴n＝，又AA1＝(0,0,1)，∴A到平面A1BC的距离d＝＝.6．(2011·浙江模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]本小题主要考查直线和平面所成角，如图所示由已知三棱柱为正三棱柱，设底面边长为a，则A1A＝a，取BC中点E，连AE，DE，则AE⊥平面B1BCC1，∴∠ADE为直线AD和平面B1BCC1所成角． AE＝a，DE＝a，∴tan∠ADE＝＝，∴∠ADE＝60°，故选C.7．(2011·山东青岛)在三棱锥P—ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝13，则点P到平面ABC的距离为()A．12B．6C．3D.[答案]A[解析]由题意知，点P在底面ABC上的射影为BC的中点，中点设为D，则PD即为点P到平面用心爱心专心2ABC的距离，解△PDC可得PD＝12.8．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1.M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D.[答案]C[解析]设BD∩AC＝0，连EO，由题意可知EO∥AM.∴M为EF的中点．∴M，故选C.二、填空题9．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则D到平面ABC的距离为____________．[答案][解析]过D作DH⊥面ABC，垂足为H，DH与平面xOy交于M，设M(x，y,0)， 解得∴M(7,4,0)．设〈AD，DM〉＝α，则|DH|＝|DA|·|cosα|，∴|DH|＝|DA|·＝.10．如右图，若P为正方体AC1的棱A1B1的中点，则截面PC1D和面AA1B1B所成锐二面角的余弦值是____________．[答案][解析]以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体，AC1的棱长为2，则D(0,0,0)，C1(0,2,2)，P(2,1,2)．∴DC1＝(0,2,2)，DP＝(2,1,2)．设截面PC1D的一个法向量为n＝(1，y，z)，则有即∴∴n＝(1,2，－2)．又平面AA1B1B的一个法向量为a＝(1,0,0)，设截面PC1D与平面AA1B1B所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝.11．(2009·湖南)在半径为13的球面上有A，B，C三点，AB＝6，BC＝8，CA＝10，则(1)球心到平面ABC的距离为________；(2)过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为________．[答案]12；3[解析]考查球的概念与性质及二面角的计算．如图， AB2＋BC2＝...
