第8章第7节1．已知A(－1,0,1)、B(x，y,4)、C(1,4,7)，且A、B、C三点在同一条直线上，则实数x、y分别等于()A．x＝0，y＝1B．x＝0，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝[答案]B[解析]由条件和AB∥AC， AB＝(x＋1，y,3)，AC＝(2,4,6)，∴＝＝，∴x＝0，y＝2.2．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝()A．5B．6C．7D．8[答案]C[解析]ka－b＝(－k－1，－2，k－3)， ka－b与b垂直，∴1×(－k－1)＋2×(－2)＋3(k－3)＝0，∴k＝7.3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°[答案]B[解析]如图，AB1＝AB＋BB1BC1＝BC＋CC1，设|BB1|＝1，∴AB1·BC1＝AB·BC＋AB·CC1＋BB1·BC＋BB1·CC1＝··cos120°＋1＝0.∴AB1⊥BC1.4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设A1B1＝a，A1D1＝b，AA1＝c，则下列向量与B1M相等的是()A．－a＋b－cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c[答案]A[解析]B1M＝B1B＋BM＝－AA1＋(BA＋BC)＝－AA1＋(－A1B1＋A1D1)＝－a＋b－c.5．a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为()A．0°B．30°C．60°D．90°[答案]D[解析](a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．6．直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交[答案]B[解析] n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.7．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AC与AB的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)．设〈AB，AC〉＝θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M分AC1的比为，点N为B1B的中点，则|MN|＝(用心爱心专心1)A.B.C.D.[答案]A[解析]MN＝AN－AM＝AB＋BN－＝AB＋AA1－AD.∴|MN|＝＝.二、填空题9．(2010·广东理)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.[答案]2[解析]c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.10．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角是________．[答案][解析]由已知得，即，∴，即a·b＝＝.∴cos
＝＝，∴＝.11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB与AC为边的平行四边形的面积为____________．[答案]7[解析]由题意可得：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.∴sin〈AB，AC〉＝，∴以AB，AC为边的平行四边形面积为：S＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.三、解答题12．已知a＝(2，－1,3)，b＝(1,0，－2)．(1)计算a－2b；(2)是否存在实数λ，使a＋λb与z轴垂直，若存在求之，若不存在，说明你的理由．[解析](1)a－2b＝(2，－1,3)－2(1,0，－2)＝(0，－1,7)．(2)a＋λb＝(2，－1,3)＋λ(1,0，－2)＝(λ＋2，－1,3－2λ)，z轴的一个方向向量为e＝(0,0,1)，由(λ＋2，－1，3－2λ)·(0,0,1)＝3－2λ＝0得，λ＝.∴存在实数λ＝，使向量a＋λb与z轴垂直．13．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.用心爱心专心2(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．[解析]记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，＝＝＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.(1)|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴|AC1|＝.(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝，|AC|＝，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.14．如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．(1)以AB，AD，AM为基向量表示出向量CM，并求CM的长；(2)求BN的长．[解析](1)CM＝AM－AC＝AM－(AB＋AD)＝AM－AB－AD，|CM|2＝(AM－AB－AD)2＝AM2＋AB2＋AD2－2AM·AB－2AM·AD＋2AB·AD＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2cos90°＝2a2－2ab＋b2.∴CM＝|CM|＝.(2)BN＝BC＋C...
