第五章第五节一、选择题1．(2010·安徽理)i是虚数单位，＝()A.－iB.＋iC.＋iD.－i[答案]B[解析]＝＝＝＋i，故选B.2．(2010·山东理)已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝()A．－1B．1C．2D．3[答案]B[解析]＝＝－ai＋2，∴b＝2，a＝－1，故a＋b＝1.3．(2009·海南)复数－＝()A．0B．2C．－2iD．2i[答案]D[解析]本题主要考查复数的运算．－＝＝＝2i.4．(2009·广东)设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)＝()A．8B．6C．4D．2[答案]C[解析]考查阅读理解能力和复数的概念与运算． α(z)表示使zn＝1的最小正整数n.又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴α(i)＝4.5．已知z＝(2＋i)(1＋)(i为虚数单位)，则复数z在复平面上所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[分析]本题主要考查复数的运算．解题时要注意＝－i的运用．[答案]D用心爱心专心1[解析]z＝(2＋i)(1＋)＝(2＋i)(1－i)＝3－i，故选D6．复数z＋i在映射f下的象为·i，则－1＋2i的原象为()A．2B．2－iC．－2＋iD．－1＋3i[答案]A[解析]由题意可令f(z＋i)＝·i＝－1＋2i，∴＝＝2＋i，∴z＝2－i，原象为2－i＋i＝2.7．(2010·陕西理)复数z＝在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]z＝＝＋i，对应点在第一象限．8．(2010·浙江理)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|[答案]D[解析]z＝x＋yi，＝x－yi，有|z－|＝|2yi|＝2|y|，∴A错，C错．z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi，∴B错，故选D.二、填空题9．使不等式(m2－4m＋3)i＋10>m2－(m2－3m)i成立的实数m＝________.[答案]3[解析] 只有两个复数都为实数才可以比较大小，∴，∴m＝3.10．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．[答案][解析]设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.∴⇒a＝.11．给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a、b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；④若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限，其中正确的命题是________(写出你认为正确的所有命题的序号)．[答案]④[解析]x∈R时，x2≥0，但z∈C时，z2≥0不成立，如(1＋i)2＝2i，故①错；不全为实数的两个复数不能比较大小，故②错；当a＝－1时，(a＋1)i＝0不是纯虚数，故③错；z＝＝－i，∴z3＋1＝1＋i在复平面内对应点在第一象限．故④对．三、解答题12．若i是虚数单位，求满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p、q.[解析]由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以解得，或，或或.用心爱心专心213．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解析]设z＝x＋yi(x、y∈R)， z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2. ＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i. (z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知解得2＜a＜6，∴a的取值范围是(2,6)．14．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．[分析]复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a<0，b>0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上．[解析](1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)由.解得m＝0，或m＝2.∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(3)由，解得m<－3或1
