第6章第5节一、选择题1．如果数列{an}的前n项和Sn＝(9n－4n)(n∈N*)，那么这个数列()A．是等差数列而不是等比数列B．是等比数列而不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列[答案]B[解析]Sn＝n－1符合Sn＝Aqn－A的特征，故该数列为等比数列．2．数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则a3＋a17等于()A．15B．17C．34D．398[答案]C[解析]a3＝S3－S2＝(32－2×3－1)－(22－2×2－1)＝3.a17＝S17－S16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31，∴a3＋a17＝34.3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是()A．33B．64C．65D．127[答案]B[解析]每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．4．(2011·黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论：①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)．其中正确的命题序号为()A．①②B．①③C．①④D．①用心爱心专心1[答案]C[解析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有an＋1＝an＋n＋1，a5＝15.故①④正确．5．△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上均错[答案]B[解析]由题意知：tanA＝＝>0.tan3B＝＝8，∴tanB＝2>0，∴A、B均为锐角．又 tan(A＋B)＝＝－<0，∴A＋B为钝角，即C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的通项公式an为()A．2n－1B．2n－1＋1C．2nD．2n＋1[答案]C[解析]据题意得－＝0，即an＝2an－1，所以an＝2×2n－1＝2n.7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n＝k，m&(n＋1)＝k＋3(m、n、k∈N*)，1&2004的输出结果为()A．2004B．2006C．4008D．6011[答案]D[解析]由已知m&(n＋1)－m&n＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&2004＝2＋(2004－1)×3＝6011.应选D.8．下表给出一个“直角三角形数阵”，，，……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i行，第j列的数列为aij(i≥j，i，j∈N)，则a83等于()A.B.C.D．1[答案]C[解析]由已知在第一列构成的等差数列中，首项为，公差为，∴a81＝＋(8－1)·＝2用心爱心专心2在每行构成的等比数列中公比q＝，∴a83＝2·()2＝.二、填空题9．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为________．[答案][解析]由2n＝2m＋n和n2＝m2n可得m＝2，n＝4，∴e＝＝.10．已知α∈(0，)∪(，π)，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案][解析]由题意，sin22α＝sinα·sin4α，∴sin22α＝2sinα·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sinα·cos2α，∴2sinαcosα＝2sinα·cos2α，即cosα＝cos2α，∴2cos2α－1＝cosα，∴(2cosα＋1)(cosα－1)＝0.解得cosα＝1(舍去)或cosα＝－，∴α＝.11．(文)(2010·江苏卷)函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．[答案]21[解析]本题主要考查了导数的几何意义及等比数列的知识，要求数列的和，关键在于确定ak与ak＋1之间的关系，再利用数列的相关知识求解． y′＝2x，∴过点(ak，ak2)的切线方程为y－ak2＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n(n>7，n∈N)行，设其第k(k≤n，k∈N*)行中不是1的数字之和为ak，由a1，a2，a3，…组成的数列{an}的前n项和是Sn.现在下面四个结论：①a8＝254；②an＝an－1＋2n；③S3＝22；④Sn＝2n＋1－2－2n.111211...
