第3章第3节一、选择题1．(2010·山东理)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.[答案]A[解析]由得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝(x2－x3)dx＝01＝.2．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16[答案]D[解析] 原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图像对称．∴对应的面积相等．原式＝2f(x)dx＝8×2＝16.3．(2011·沈阳)由三条直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为()A．4B.C.D．6[答案]A[解析]S＝x3dx＝02＝4.4．若dx＝3＋ln2，则a的值为()A．6B．4C．3D．2[答案]D[解析] dx＝(x2＋lnx)|1a＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2∴a＝2.5．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－C．有最小值－，无最大值D．既无最大值也无最小值[答案]B[解析]F′(x)＝x(x－4)令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－.∴最大值为0，最小值为－.6．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.f(x)dxB．|f(x)dx|C.f(x)dx＋f(x)dxD.f(x)dx－f(x)dx用心爱心专心1[答案]D[解析]由定积分的几何意义知：在x轴上方的阴影部分的面积为f(x)dx，则在x轴下方的阴影部分，由于f(x)<0，故f(x)dx<0，所以其面积应为－f(x)dx.因此，总面积为f(x)dx－f(x)dx.7．已知力F和物体移动方向相同，而且与物体位置x有如下关系：F(x)＝那么力F使物体从x＝－1点运动到x＝1点做功大小为()A．0B.C.D．1[答案]B[解析]－1F(x)dx＝－1|x|dx＋(x2＋1)dx＝－1(－x)dx＋(x2＋1)dx＝(－1)2＋×13＋1＝.8．设f(x)＝则f(x)dx＝()A.B.C.D．不存在[答案]C[解析]如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3|01＋12＝＋＝.二、填空题9.－4|x＋2|dx＝________.[答案][解析]原式＝(－x－2)dx＋－2(x＋2)dx＝.10．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5m/s的速度自由落下，则下落后第二个4s内经过的路程是________．[答案]261.2m[解析](9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|48＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.11．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.[答案]－2[解析] f(x)dx＋f(x)dx＝f(x)dx，∴f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－1－1＝－2.三、解答题12．求下列定积分：用心爱心专心213．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得，即，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx＝[ax3＋(2－a)x]|01＝2－a＝－2，∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.(2) f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．[解析]抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积用心爱心专心3＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－.15．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x＝－t(0
