第2章第3节一、选择题1．(2010·重庆理)函数f(x)＝的图像()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称[答案]D[解析] f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．2．已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(462)的值为()A．2B．0C．1D．－1[答案]B[解析] f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， f(x)图像关于直线x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(462)＝f(115×4＋2)＝f(2)， f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上奇函数，∴f(0)＝0，∴f(462)＝0.故选B.3．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)>0B．f(x1)＋f(x2)<0C．f(－x1)－f(－x2)>0D．f(x1)－f(x2)<0[答案]D[解析] x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1
0D．－1－1.又函数f(x)的周期为3，所以f(2)＝f(－1)，∴>－1，∴a<－1或a>0.7．已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．以上都有可能[答案]A[解析]由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.8．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()A．f(2)f(2)＝>0，因此g(0)0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．[分析]该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力．[答案]1[解析]因为函数f(x)＝x＋在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当x∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数y＝f(x)为偶函数，故当x∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则m－n的最小值是1.11．(2010·重庆理)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.[答案][解析]令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)①令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)即f(x－1)＝－f(x＋2)∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)∴f(x)＝f(x＋6)．即f(x)周期为6，∴f(2010...
