第13章第1节一、选择题1．自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小为()A．10°B．20°C．30°D．40°[答案]B[解析]因为PA与圆相切于点A，所以AM2＝MB·MC.而M为PA的中点，所以PM＝MA，则PM2＝MB·MC，∴＝.又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，从而∠MPB＝20°.2．如图，AB是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝()A．6B．6C．8D．6[答案]A[解析]本题是一道几何证明选讲问题．设CB＝AD＝x，则由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2(勾股定理)∴62＋DE2＝122，∴DE＝6.本题关键是设出CB＝AD＝x，利用割线定理，通过解一元二次方程求出x.3．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为()A．13B.C.D.[答案]C用心爱心专心1[解析]过A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG. 折叠后B点与E点重合，折痕为FG，∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴＝. AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，∴BE＝＝13，∴FG＝AH＝＝.4．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABES△DBA＝15，则AE的长为()A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm[答案]A[解析] ∠BAD为直角，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴＝2＝，∴ABDB＝1.设AB＝k，则DB＝k，AD＝2k， S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝2，∴BD＝10，AD＝4，则S△ABD＝BD·AE＝×10×AE＝20，∴AE＝4cm.5．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()A．105°B．115°C．120°D．125°[答案]B[解析] PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，又AB为直径，所以∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.6．如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()用心爱心专心2A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线[答案]B[解析]其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题．△ABP的面积为定值，所以点P到直线AB的距离为定值(不妨设为d)，所以点P在以直线AB为轴，底面半径为d的圆柱表面上(或者说点P的轨迹是圆柱表面)，另外点P又在平面α内，所以点P的轨迹就是圆柱表面和平面α的公共部分，由于平面α斜截圆柱表面，所以轨迹是一个椭圆．二、填空题7．(2010·北京理)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______；CE＝________.[答案]52[解析]首先由割线定理不难知道AB·AC＝AD·AE，于是AE＝8，DE＝5，又BD⊥AE，故BE为直径，因此∠C＝90°，由勾股定理可知CE2＝AE2－AC2＝28，故CE＝2.8．(2010·湖南理)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．[答案]6[解析]根据切线长定理：PT2＝PA·PB，PB＝＝＝8.所以AB＝PB－PA＝8－2＝6.9．(文)(2010·天津文)如下图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB＝1，PD＝3，则的值为__________．用心爱心专心3[答案][解析]本题考查了三角形相似的有关知识． ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠PBC＝∠D，∠BCP＝∠A，∴△PBC∽△PDA，∴＝＝.(理)(2010·天津理)如右图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为__________．[答案][解析]由割线定理知：PB·PA＝PC·PD，又因为PB＝PA，PD＝3PC，有PB·2PB＝PD·PD，∴PB2＝PD2，∴PB＝PD，又 △PBC∽△PDA，∴＝＝.10．(2010·广东文)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝_...
