高三数学直线和圆锥曲线相切的若干命题与应用VIP免费

第14卷第2期1999年6月柳州师专学报JournalofLiuzhouTeachersCollegeVo】14N02June1999廖乃高(广西水电学校．南宁530023)2t／摘要：直线和圆锥曲线相切的问题是解析几何中较为重要、实践中应用又广泛的内容之一本文推导出直线和圆锥曲线相切充要条件的四个命题，并通过实际例子予以^．关键词：皇墅旦丝些垒；塑殳解暂几何中图分类号：0182，1文献标识码：A文章编号：1003—7020(1999)02～0116—031舌干命题的引进为了使命题结论形式简单，本文取直线方程的形式为：Az+By=1，其中A与B是不垒为零的常数命题1直线+By=1与椭圆+兰：1相切的充分必要条件为：n2A2+b2B2：1证明必要性：因为A,B不全为零，不妨取B≠0，所把一A百1代入椭圆方程得：z(一A百1)2卜百——『_-，化简碍(nA+b2B)一2An+(n2一n6B)：0．因为直线十By：1与椭圆+：1相切，故△：0即口‘b。(一2Aa)4(aA+6B)(一n262B2)：0．化简得口A+6：1充分性：(略)当a=b=r时易得：命题2直线Ax+B=1与圆=r2相切的充分必要条件是：r2(A2+B2)：1，命题3直线+毋=1与双曲线≤：1相切的充分必要条件是：a2A262Bz：1，命题4直线Ax+By：1与抛物线：2py(>0)相切的充分必要条件是：AP+2B=0．对于直线Ax十B=1与椭圆、双曲线、抛物线的其它标准形式的方程相切的充要条件，读者收稿日期：I999—02,一10116廖乃高：直线和圆锥曲线相切的若干命题与应用司自行推之．2应用举例应用上述结论．可以简化解题过程．达到化繁为简、化难为易的目的现举几例说明如下倒1垂直于直线z一2=0的一直线与一yZ=1相切，求此直线方程解依题意设所求直线方程为：=一2+6，即1=l由命题3得：l5(吾)一6()。=1，求得b=±3，故所求直线方程为：=一2：c±34-6．倒2求+菩=1与妻一y2=1的公切线方程解设所求公切线方程为A+By=1由命题1、命题3得f16A。+9B=1．132A一7B=1，解得A：；B：±．故公切线方程为：Y±5=O及—Y=5=0．例3从椭圆≤+：1外一点作椭圆二切线．若二切线夹角为直角，求这点的轨迹解设动点为M(0，0)切线斜率为k，则切线方程为：一Y0=(一0)，可改写为：k1．’由命题1得：n化简得：／＼叉由题意知：kl·k2=一1，故有8+j=Ⅱ+6．由此知所求点的轨迹方程为：2+Y2n2+b2．它是以(0，0)为圆心半径为√n+b。的一个圆．例4抛物线=2pz(P>0)的内接三角形有两边与抛物线=2qy(q>O)相切，证明这个三角形的第三边也与z=2qy(口>0)相切．(1982年理工科高考题)证明设zxABC的三个顶点的坐标分别为：A(券，)，B(券，z)．(券，3)易知：l≠2：≠不妨假定已知AB、BC与：2qy相切．因为ll7：6一n=h得理定链由第l4卷第2期柳卅1师专学报1999芷所以即由命题4得^∞}——2p．．Y——22p2pYtY2：+一-2p+：ltY2tY2()Y122(【2)‘q+——YlY2化简得：2pqYt2(j，】2)=0同理可得：2pqj，23(j，23)=0．由(1)、(2)得Y2=(【+3)，代入(2)得：2pq+lY3(【Y3)=0，故AC也与=2qy相切．参考文献[1]脖永康直线与抛物绒相切的充要条件及其应用【J]中学生效学．1983，{4)【2I~'N大学数学系中学教学学习题【M]．{r)：(1)(2)FourPropositionsandTheirApplicationsofaStraightLineandaConicSectionBeingTangentLiaoNaigao(GuangxiInstituteofWaterandElectricity，Nanning530023)Abstract：Theauthorillustratesfourpropositionsandtheirapplicationsofastraightlineandaconicsectionbeingtangentinthispaper．Keywords：straightline；conicsection；beingtangent1l8(责任编辑：虞继敏)