dB+AC=4R=BC．定理4设A(n)为直顶闭折线，其直顶点为4，外接圆半径为，重心为G，则4G2=(n--证明由【l】§4的引理可知∑442=嵋G+∑G．④又由本文定理3和定理2可知∑4=∑4=2(n-I)R．⑤4G：⑥，l将⑤和⑥代入④，经整理就得4G2=(·显然，在这个定理中令，l=3，可得推论4设△ABC为直角三角形，其重心为G，外接圆半径为足则AG+BG+CG：墨：三c．33定理5设A(n)为直顶闭折线，其直顶点为4，外接圆o(0，R)，若其顶点子集{4，，⋯，4．．，4⋯，)的重心为q(f=l，，⋯，，1)，则D=．’，l—I证明由【l】定理5．2可知GI：44=1：(n一1)，所以有Gl=()4．由本文定理l可知，点G是点D'所以上式可改写成D=()4，D=()442·又由本文定理3可知·l6·∑4=2(n-1)，代入上式就得i=2oG：：．，l—l显然，在这个定理中令，l=3，可得推论5设△ABC为直角三角形，其直角顶点为，外接圆为0(D，)，若AB和AC的中点分别为E和F'则0+D==C／4．(指导教师熊曾润)参考文献【l】熊曾润，平面闭折线趣探．北京：中国工人出版社．2OO2．直线和圆锥曲线位置关系的一个充要条件福建仙游县大济中学林凤芬在初中平面几何中，研究直线与圆的位置关系时，大多采用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定他们是相交、相切、相离，那么对椭圆、双曲线、抛物线与直线的位置关系，是否有类似的性质呢?笔者在教学实践中，经过类比、探索，得到以下几个结论，给予肯定的刚答．'．2．。2定理1设是椭圆C：+=l。‘a‘b‘>b>0)的两个焦点，点到直线三：++C=0的距离分别为d．d，，且在三同俱0，则(1)d。d2
b直线三与椭圆C相离．证明若A=0时，定理显然成立．A≠0时，I++C=0，①对于方程组(I){r．Y，I‘由①得：一—By+—C．③A‘把③代入②并整理，得(口+6)+26C)，+6(C一口A)=0其判别式为-A=(2bBC)一4(aA+6)6(C一口)=4abA(口A+bB一C)．=·=．．(因为在同侧，其中C=a+b．)(1)直线和椭圆C相交§方程组(I)有两个不等实数解．A>0a2Az+6Bz>C2dldz=C一ACa2A+bzB一Ac=bdldzb§直线与椭圆C相离．定理2设是双曲线一等：1的两焦点，到直线L：Ax++C=0的距离分别为d，dz，且在的两侧，则(1)d~d2b§直线与双曲线C相离．证明若A=0B≠0时，且在的同侧，不合条件，若A≠0，B=0时，显然成立．若A≠0，B≠0时IAx++C=0，①对于方程组(II){x2yZ，一l一‘②由①得X-一—By+—C．③把③代入②并整理，得(口一6丑)一26BC)，一6(C一口A)：0其判别式为A=(一2bBC)+46(口一bzBz)(C一aZA)=abA(bzB+C一aA1．=‘=．(因为在三两侧，其中C=a+b。)(1)直线和双曲线C相交§方程组(Ⅱ)有两个不等实数解．·§A>0§a．L4一bBb§直线与双曲线C相离．定理3设抛物线Y=2m(P>0)的对称轴上有两点(0，0)，(p，0)，直线L：Ax++C=0，N-_fi线L的距离分别为d，d，在直线的同侧，则直线与抛物线Y=2px相切的充要条件是一=P；i~．11ll4．4B4．4B，+2+2d一d=AP+2C+。对于方程组(III)l++c=0，①【Y：2px．②A=0时，显然成立．A≠0时，由①得=(一+c)／．4代入②并整理，得+2PBy+2PC=0，A=4P一4A·2PC=4(pB一2ACP)．直线与抛物线相切§(III)有两个相等实数解§A=0§2ACP=PB§一AP+2APCAP+BP+BA+B推论直线三与抛物线相交§；一．·l7·例1已知：直线工：3x+2,／~y一16=0，椭圆+：1，试判定直线L与椭圆C的位置l64关系．解口=16，b=4，c=12，(一2√3，O)，(2,,／3，0)．．：—I(--6,]3-16)—(6．,~-16)I：4：bz．9+28所以直线与椭圆C相切．例2已知直线j=-5+2，(f为参【Y=4+,12t／2数)和椭圆c{=2c0sO(为参数)【Y=43sin0①求椭圆C的焦点；②求以为焦点且与直线￡有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆C’的方程．解①直线工化为：—Y+9=0，椭圆C化为／12+Y／3=1．a=12，b=3，C=9．．．·(一3，0)，(3，0)．②由已知得到所求椭圆C’为与三相切时的椭圆．．．...
