直线与平面(文)一周强化一、一周知识概述本周复习的内容是高二（下）数学第九章的前半部分内容，即直线与平面的内容，共用时七个课时，空间角度问题和空间距离问题是难点，也是重点，教学中用时较多.二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周学习重点1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理判定定理1：若一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线就垂直于该平面．判定定理2：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．直线与平面的性质定理：若两直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．2、三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．3、平面与平面平行的判定定理与性质定理（1）判定定理（2）性质定理用心爱心专心4、平面与平面垂直的判定定理与性质定理（1）判定定理①定义：二面角平面角θ=90°.②（2）性质定理（二）本周学习的难点1、空间角度问题，有三种：（1）异面直线所成的角，找角的方法是将异面直线平移成相交直线，相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角.（2）直线和平面所成的角，找角的方法是寻找斜线在平面上的射影，斜线和射影所成的锐角就是斜线与平面所成的角.（3）平面和平面所成的角，即二面角.寻找二面角的平面角的方法有三种：①定义法；②垂面法；③利用三垂线定理或其逆定理.2、空间距离问题，有六种：（1）点点距离；（2）点线距离；（3）点面距离；用心爱心专心（4）线线距离；（5）线面距离；（6）面面距离。三、例题点评例1、如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB与BC的中点，EF与BD交于H.（1）求二面角B1—EF—B的大小.（2）试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.（3）求点D1到面EFB1的距离.例2、已知六边形ABCDEF的边长为a，沿此正六边形对角线AD折成二面角F—AD—C.（1）求证：无论二面角F—AD—C多大，△FEC一定为直角三角形；（2）若二面角F—AD—C为直二面角，求直线AD与CE的距离及直线AD与FC所成角的正切值.例3、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图所示）.（1）求证：平面A1B1C1∥平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离.用心爱心专心例4、如图，已知两条异面直线AB与CD所成的角等于，且AB=m，CD=n，平面MNPQ与AB、CD都平行，且M、N、P、Q依次在线段AC、BC、BD、AD上．（1）求证：四边形MNPQ是平行四边形．（2）当M点在何位置时，□MNPQ的面积最大？最大面积是多少？试题答案解析题分析：对于（1），应利用三垂线定理或其逆定理寻找二面角的平面角；对于（2），应先猜想点M的位置，再给出证明；对于（3），关键是确定D1在平面EFB1上的射影的位置.解答：（1）连结B1D1，AC、B1H，用心爱心专心 底面为正方形ABCD，∴对角线AC⊥BD.又 E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC.∴EF⊥BD.又 棱B1B⊥底面ABCD，EF面ABCD，∴EF⊥B1B.又B1B∩BD=B，BB1面BB1D1D，BD面BB1D1D.∴EF⊥面BB1D1D.而B1H面BB1D1D，BH面BB1D1D，∴EF⊥B1H，EF⊥BH.∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角.在Rt△B1BH中，，∴二面角B1—EF—B的大小为.（2）在棱B1B上取中点M，连D1M，则D1M⊥面EFB1，连结C1M， EF⊥面BB1D1D，D1M面BB1D1D.∴D1M⊥EF.又 D1C1⊥面B1BCC1.∴C1M为D1M在面B1BCC1内的射影.在正方形B1BCC1中，M、F分别为B1B和BC的中点，用心爱心专心由平面几何知识B1F⊥C1M.于是，由三垂线定理可知B1F⊥D1M，而B1F面EFB1，EF面EFB1，EF∩B1F=F，∴D1M⊥面EFB1.（3）设D1M与面EFB1交于N点，则D1N为点D到面EFB1的距离， B1N面EFB1，D1M⊥面EFB1，∴B1N⊥D1M.在Rt△MB1D1中，由射影定理D1B12=D1N·D1M，而∴.即点D1到面EFB1的距离为.点评：对于空间角度问题，要按照“找”、“证”、“算”三个步骤来解答.例2：解析：本题是一个有关几何图形的折叠问题，解决此类问题要分清折叠前后，哪些是变化了，哪些没有变化．用心爱心专心（1）在平面图形ABCDEF中，连EC交AD于G，则BG⊥AD.折成直二面角后，...
